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Tema: La potencia irracional.

  1. #1
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    La potencia irracional.

    ¡Hola nuevamente!

    Hoy en clase el profesor nos definió el significado de un número elevado a una potencia irracional, creo que posteriormente se usará para hablar de la función exponencial. En fin.

    La definición dice así:
    Sea y cualquiera.

    Consideremos a la sucesión de números racionales que es creciente y tal que .
    Entonces definimos .

    Pero antes, dijo que para poder hablar de dicha sucesión, teniamos que demostrar que

    , existe una sucesión creciente de racionales que converge a .

    Creo que sólo tenemos que usar las leyes de los exponentes para potencias racionales, pero no tengo mucha idea de cómo hacerlo. Agradezco alguna pista.
    FÍSICA. No hase falta que me dises nada más.

  2. #2
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    Guest

    Re: La potencia irracional.

    Hola.

    Te iba a mandar la demostración entera, pero veo que buscas pistas. Así es mejor.
    Para demostrar la existencia de dicha sucesión, algunas ideas:

    Supón que

    -Considera el conjunto acotado , donde es el supremo.
    -Intenta formar una sucesión de puntos de (un dibujito y tener la definición de supremo delante te puede ayudar) con límite .
    -Una vez conseguida la sucesión, puede que no sea creciente, no importa, puedes sacar una subsucesión creciente por un conocido teorema.

    Para el caso es igual.
    Diría que para , se deduce de las leyes para exponentes naturales (si alguien no los confirma, y de paso le da un vistazo a todo mejor :D).
    Bueno, cualquier duda pregunta

    Saludos.

  3. #3
    Super Moderator
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    29 mar, 06
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    Re: La potencia irracional.

    Cita Iniciado por KaryTanis
    ¡Hola nuevamente!

    Hoy en clase el profesor nos definió el significado de un número elevado a una potencia irracional, creo que posteriormente se usará para hablar de la función exponencial. En fin.

    La definición dice así:
    Sea y cualquiera.

    Consideremos a la sucesión de números racionales que es creciente y tal que .
    Entonces definimos .
    Es una de las maneras de definir la exponenciación de base real positiva y exponente real arbitrario :

    siendo CUALQUIER sucesión de racionales (no hace falta que sea monótona) que converja al número real .

    Esta definición es consistente porque:

    1) Para cualquier real , existen infinitas sucesiones (estrictamente monótonas, si lo deseamos) de racionales que convergen a en el Cuerpo Ordenado . Esto es debido a que dicho Cuerpo Ordenado verifica la Propiedad Arquimedeana, una de cuyas consecuencias es que entre dos elementos cualesquiera, hay un racional.

    2) Dada cualquier sucesión convergente (en el Cuerpo Ordenado ) de números racionales , se tiene que la suceción de números reales es de Cauchy, y por tanto converge a algún número real (en el Cuerpo Ordenado , ya que éste verifica la Propiedad de Completitud).

    3) Si y son dos sucesiones cualesquiera de números racionales que convergen a un mismo número real, entonces las dos sucesiones de números reales y (que sabemos por 2) que convergen) convergen al mismo número real.

    Si denotamos por al número real límite de las sucesiones de racionales y , solemos denotar por al número real límite de las sucesiones y .


    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

  4. #4
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    Re: La potencia irracional.

    Hola, ante todo perdón por tardar en contestar y gracias por la respuesta.

    @topo, no entiendo lo de construir una sucesión de puntos con límite . ¿Arbitrariamente puedo elegir los que yo quiera? ¿Y si elijo sólo racional cómo sé que el límite puede ser irracional sin ningún problema? Gracias por la ayuda.

    Cita Iniciado por mat
    1) Para cualquier real , existen infinitas sucesiones (estrictamente monótonas, si lo deseamos) de racionales que convergen a en el Cuerpo Ordenado . Esto es debido a que dicho Cuerpo Ordenado verifica la Propiedad Arquimedeana, una de cuyas consecuencias es que entre dos elementos cualesquiera, hay un racional.
    Con esto te refieres a definir un intervalo, digamos, , donde es un racional y y sean elementos cualesquiera (¿por ejemplo, irracionales?).

    Creo que tiene que ver con el teorema que se enuncia de la siguiente manera: Si es una sucesión acotada y creciente, entonces la sucesión converge a .

    En fin, ¿tiene algo que ver eso con lo que me están recomendando? Gracias de nuevo, aunque lo que me sigue pareciendo raro es que supuestamente debíamos demostrar primero las leyes de los exponentes tal que , e intuía que debíamos usarlos. Pero si no, entonces no hay problema.

    Salu2!
    FÍSICA. No hase falta que me dises nada más.

  5. #5
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    Re: La potencia irracional.

    Hola KaryTanis, espero no llegar muy tarde, pero hace unos días hice un ejercicio en análisis que pedía demostrar que Un punto x está en la adherencia de A si y sólo si existe una sucesión (xn)n de puntos de A que tiende a x. No sé si podrás usar ese resultado, pero la demostración es muy sencilla aplicando definiciones de límite de una sucesión y de adherencia de un conjunto.

    Habiendo visto esto, sólo tendrías que construir las condiciones adecuadas para poder aplicarlo, y después tomar alguna subsucesión.

    Creo que por ahí puedes ir bien, y más sencillo.
    "Quizás Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo raro ocurre con los números primos." Paul Erdös.

  6. #6
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    Guest

    Re: La potencia irracional.

    Hola.

    Considera

    está acotado y por tanto posee supremo e ínfimo. El supremo de dicho conjunto es .

    Vamos a formarmos una sucesión:

    Si hago , tendré que:

    no es cota superior de , por tanto existe un número real en el conjunto , que llamaremos cumpliendo:

    luego

    Como nos ha dicho mat en el post anterior, satisface la propiedad arquimediana, luego entre y hay un racional. Pues tomemos ese racional, y llamémoslo .
    Se tendrá entonces que:

    es una sucesión de números racionales.

    para todo . Por el criterio del sándwich,

    Hola 6cR.
    Yo también demostré ese ejercicio hace pocos días, pero no veo claro como podríamos usarlo. Si sabemos que ( es denso en ) entonces sí está claro.


    Saludos.

    PD:Por supuesto, todo esto que he escrito puede tener algún error, así que no dudéis en dudar a la mínima.

  7. #7
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    Re: La potencia irracional.

    A lo que yo me refiero es a actuar de la siguiente manera:

    Sea

    Consideramos el intervalo

    Ahora, , y como , aplicando la proposición, existe una sucesión de puntos de (que son todos racionales por definición de ) que converge a .

    Sólo falta tomar una subsucesión de que sea creciente. Esta parte es un poco más incómoda, pero puedes construir la subsucesión de la siguiente manera:



    (Observar que como x es el supremo de , , y , sabemos que ).

    Por definición de límite, para existe un tal que ,

    Sea el menor índice tal que , y tomamos .


    Vuelta a empezar:

    Sea

    Tomamos el como el menor índice tal que , y ponemos


    La notación es bastante liosa, pero al final tienes la sucesión definida por:







    y se tiene que es una sucesión creciente de racionales que converge a .
    "Quizás Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo raro ocurre con los números primos." Paul Erdös.

  8. #8
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    Guest

    Re: La potencia irracional.

    Hola.

    Cita Iniciado por 6cR
    A lo que yo me refiero es a actuar de la siguiente manera:

    Sea

    Consideramos el intervalo

    Ahora, , y como , aplicando la proposición...
    Y a lo que yo me refiero, si no ando muy despistado, es que ahí estás usando fuertemente que Q es denso en R (o como has escrito, ). Yo esto de la densidad de Q lo he probado en alguna ocasión, pero precisamente usando la proposición, y por tanto usando que existe una sucesión....

    Saludos.

  9. #9
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    Re: La potencia irracional.

    Jo, pero eso es irse muy al principio, ¿no? y no es necesario usar sucesiones porque eso se puede ver con un corolario de la propiedad arquimediana que dice que

    Para todo existe un natural tal que .



    Veamos que entre cada dos reales existe un racional.

    Dados con , aplicando el corolario, (1)

    Sea (Parte entera de ). Se cumple . Entonces

    y dividiendo entre n, , donde es racional.
    "Quizás Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo raro ocurre con los números primos." Paul Erdös.

  10. #10
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    Guest

    Re: La potencia irracional.

    Ah, muy bueno! Caramba, ahora que me leo no me reconozco, que cabezón he estado .

    Bueno, pues parece ahora que KaryTanis tiene para elegir :D

    Saludos, y a seguir.

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