Un cable con continuidad.

**KaryTanis** · 02/11/2009 18:42

Hola de nuevo :D. Ante todo gracias nuevamente por la ayuda que se me ha brindado pasadas veces, jeje.

En esta ocasión traigo unos conflictos con continuidad, agradecería cualquier ayuda posible.

Suponga que $f$ es una función continua en el punto $x_0$ y que está definida en un intervalo abierto que contiene a $x_0$ . Suponga también que $f(x_0) > 0$ . Demuestre que existe un intervalo abierto $I$ que contiene a $x_0$ en el cual $f$ es positiva (es decir, $f(x) > 0$ para toda $x \in I$ ).

¿Alguna pista?

A mí se me ocurría quizás usar el teorema del valor intermedio. Como la función es continua, se puede aplicar. Como $x_0$ es positivo, entonces tomando un radio alrededor de $x_0$ positivo, aseguro la existencia del intervalo $I$ . El problema es que no me suena que así esté bien resuelto. Gracias de antemano.

gm · 02/11/2009 18:54

Iniciado por KaryTanis

...Suponga que $f$ es una función continua en el punto $x_0$ y que está definida en un intervalo abierto que contiene a $x_0$ . Suponga también que $f(x_0) > 0$ . Demuestre que existe un intervalo abierto $I$ que contiene a $x_0$ en el cual $f$ es positiva (es decir, $f(x) > 0$ para toda $x \in I$ ).

¿Alguna pista?...

En la versión delta-epsilon de continuidad, toma como epsilon al propio f(x_0)

**KaryTanis** · 02/11/2009 19:13

Hmm, quieres decir que...

Como la función es continua, si $\epsilon > 0$ , entonces existe una $\delta > 0$ tal que si $|x - x_0| < \delta$ entonces $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ . Tomando $f(x_0) = \epsilon$ , tenemos entonces que

$|f(x) - f(x_0)| < f(x_0) \Longrightarrow -f(x_0) < f(x) - f(x_0) < f(x_0) \Longrightarrow 0 < f(x) < 2f(x_0)$

Y bueno, ciertamente veo que $f(x) > 0$ , pero ¿cuál sería ahí mi intervalo $I$ ?

Gracias gm, jeje.

Edit: Ah, espera. ¿Sería $I = (0, 2f(x_0))$ ?

topo · 02/11/2009 19:29

Hola.

Tu intervalo te lo da la definición $\epsilon-\delta$

Cuando has escrito

Iniciado por KaryTanis

Hmm, quieres decir que...

Como la función es continua, si $\epsilon > 0$ , entonces existe una $\delta > 0$ tal que si $|x - x_0| < \delta$ entonces $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ .

aseguras que para cualquier $\epsilon>0$ , tienes un $\delta$ . En particular, como dices, para $\epsilon=f(x_0)$ , existe un $\delta$ tal que para todo $x$ con $|x-x_0|<\delta$ se tiene que $f(x)>0$ . Tu intervalo es $I=(x_0-\delta, x_0+\delta)$ .

saludos.

**KaryTanis** · 02/11/2009 19:35

Iniciado por topo

aseguras que para cualquier $\epsilon>0$ , tienes un $\delta$ . En particular, como dices, para $\epsilon=f(x_0)$ , existe un $\delta$ tal que para todo $x$ con $|x-x_0|<\delta$ se tiene que $f(x)>0$ . Tu intervalo es $I=(x_0-\delta, x_0+\delta)$ .

saludos.

El intervalo, entonces, lo deduces de $|x - x_0|< \delta \Longrightarrow -\delta < x - x_0< \delta \Longrightarrow -\delta + x_0 < x < \delta + x_0$ ... si no me equivoco. ¿Por qué se toma este intervalo?

Gracias, topo

topo · 02/11/2009 19:44

Iniciado por KaryTanis

El intervalo, entonces, lo deduces de $|x - x_0|< \delta \Longrightarrow -\delta < x - x_0< \delta \Longrightarrow -\delta + x_0 < x < \delta + x_0$ ...

Sí, todos los x que cumplen eso último que has puesto, forman el abierto $I$ .
Es decir, $-\delta + x_0 < x < \delta + x_0 \Longleftrightarrow{} x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)$

Ese intervalo lo tomo, porque es uno de los que sirven para que se cumpla lo que quieres (relee la definición de continuidad, y verás que si $x\in I$ entonces $f(x)>0$ , lo que pedías).

**KaryTanis** · 02/11/2009 19:49

Ah, es cierto. Gracias topo, me ha quedado perfectamente claro.

Hasta otra. Saludos

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