Ayuda con una sucesión.

[KaryTanis]

Hola. Tengo unos ejercicios de demostrar que unas sucesiones no están acotadas. Pero me atoro con la siguiente.

.

En verdad no encuentro manera de demostrar que no es acotada. Intenté hacer algo parecido como en la que sigue (que curiosamente, está como ejercicio posterior al anterior):

. Afirmación: La sucesión no está acotada.
Demostración por contradicción.
Supongamos que la sucesión está acotada superiormente, es decir, que

Note que por ello, tenemos que:
, pero por la desigualdad de Bernoulli,



Por lo tanto es cota superior de los naturales, pero esto es una contradicción, pues los números naturales no están acotados superiormente. La contradicción vino por suponer que la sucesión estaba acotada superiormente. Por lo que necesariamente debe ocurrir que no esté acotada.

(Siento tanta formalidad, es lo que deja Spivak).

¿Alguna idea parecida para resolver ?

Gracias de nuevo.

[Ggarcia]

La clave está crece (mucho) más rapidamente que . Es muy fácil probar (por inducción) que a partir de cierto natural se verifica



Vamos a probar que, para cualquier , existe un natural n tal que. En efecto: basta tomar , y entonces

y por lo tanto

¿Que opinas?

[gm]

...Siento tanta formalidad...

En este subforo no tienes que disculparte por eso... de hecho, se agradece.

[KaryTanis]

Jojo, muchas gracias a los dos.

Qué bueno lo de la formalidad,