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Tema: Clases de conjugación

  1. #1
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    Clases de conjugación

    Saludos.

    Bueno, pues se me a atravesado el siguiente ejercicio y no se ya por dónde atacarlo. Dado un grupo tal que probar que no existen clases de conjugación con cardinal .

    Se me ocurrió suponer que . Hay un resultado que garantiza que , y a su vez, y debido a que utilizando el Tma. De Lagrange podemos obtener que , y de esta igualdad obtenemos que .

    Pero no se por dónde seguir, ni como continuar, se me ocurrió utilizar la Ec. De las clases, pero no hubo suerte. A ver si podeis encaminarme un poco hacia la solución.

    No se si la notación que he utilizado es la estandar. Supongo que sí, pero si hay alguna duda responderé sin problema.

    Un saludo

  2. #2
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    Re: Clases de conjugación

    Cita Iniciado por Beleragor
    Saludos.

    Bueno, pues se me a atravesado el siguiente ejercicio y no se ya por dónde atacarlo. Dado un grupo tal que probar que no existen clases de conjugación con cardinal .

    Se me ocurrió suponer que . Hay un resultado que garantiza que , y a su vez, y debido a que utilizando el Tma. De Lagrange podemos obtener que , y de esta igualdad obtenemos que .

    Pero no se por dónde seguir, ni como continuar, se me ocurrió utilizar la Ec. De las clases, pero no hubo suerte. A ver si podeis encaminarme un poco hacia la solución.

    No se si la notación que he utilizado es la estandar. Supongo que sí, pero si hay alguna duda responderé sin problema.

    Un saludo
    Pistas:

    1) Como bien dices, si existiese una clase de conjugación con cardinal , (donde es un número primo) entonces existiría un elemento tal que . Entonces no es abeliano y además ese no pertenece al centro del grupo, (¿Por qué?).

    2) Como no es abeliano, y su orden es , entonces necesariamente (¿Por qué?).


    3) Las dos pistas anteriores suponen una contradicción (¿Por qué? ), y por tanto no puede existir una clase de conjugación con cardinal .
    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

  3. #3
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    Re: Clases de conjugación

    Al primer por que te puedo responder rapidamente. Si conmuta con todos los elementos del grupo G, y por lo tanto Si .Lo cual implicaría que .Como el tenemos que no es abeliano.

    Como tenemos por el Teorema de Lagrange que divide a .Pero no logro llegar a por que su orden es y no . Me falta algo, por que no encuentro nada que me garantice que ese orden sea .

    La contradicción tampoco la veo. Un poco más de ayuda por favor.



    Un saludo y gracias


  4. #4
    Super Moderator
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    Re: Clases de conjugación

    Te voy a dar unas "Subpistas" para que puedas justificar lo que he escrito en mi "Pista 2" :D

    Subpista 2.1: Si , entonces es un múltiplo de .


    Subpista 2.2: Por la Ecuación de las Clases de Conjugación (y dado que sabemos que no es abeliano), tenemos que (donde ), y si fuese , tendríamos que , lo cuál es imposible. Por tanto sabemos de momento que o bien .


    Subpista 2.3: Si fuese , entonces el Grupo Cociente sería Cíclico (pues tendría orden primo).


    Subpista 2.4: sea cualquier grupo. Demuestra que si el Grupo Cociente es Cíclico, entonces es abeliano.


    Subpista 2.5: de las dos últimas subpistas (junto con el hecho de saber por las anteriores subpistas que no es abeliano), sabemos ya que no puede ser . Por tanto .


    Subpista para la Contradicción:

    Tenemos que y puedes demostrar que es un subgrupo de cualquier centralizador, por tanto son el mismo subgrupo, es decir, que es la contradicción de la que te hablaba.

    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

  5. #5
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    Re: Clases de conjugación

    Muchas gracias Mat, en un rato me pongo a demostrar todo.

    Al final era un ejercicio bastante más complicado de lo que yo creía.

    Un saludo y gracias de nuevo

  6. #6
    Member
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    Re: Clases de conjugación

    La última deducción estuvo soberbia, bonito ejercicio.

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