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Tema: Sucesión de Fibonacci

  1. #1
    morytelov
    Guest

    Sucesión de Fibonacci

    Bueno, luis no conocía este método y me había dicho hoy que lo postease. Además es muy interesante para la gente que no lo conozca. Lo que voy a hacer es obtener una expresión explicita para los números de fibonacci; así tendremos estos ´números mediante una sucesión no recurrente, y podremos calcular el término enésimo sin calcular los anteriores. La cosa empieza: podemos representar la relación que nos da la sucesión de fibonacci como , y ,así,podemos escribir, en forma matricial que: Si ahora repetimos el mismo proceso para y obtendremos
    ¿verdad?,pues bien,repitiendolo n veces obtendremos: Y bien, aquí empieza lo interesante. Tenemos una multiplicación de matrices y una de ellas elevada a n; por tanto, es fácil ver que si conseguimos una expresión de esa matriz elevada a n con la que se pueda trabajar,entonces obtendremos una expresión explícita para . Bien, pues el secreto está en diagonalizar,así que vamos a diagonalizar esa matriz (que llamaremos A,para abreviar). Bien,yo lo he hecho sobre el papel, y me da una pereza mortal pasar todos los cálculos a Latex, aunque ya sabemos de sobra diagonalizar matrices, así que espero que no os importe El caso es que me queda que:
    donde (phi es el número aureo, claro); Y la inversa de P tiene una forma tan exótica como:
    Ahora sabemos que ya que las inversas se van cancelandoven las multiplicaciones sucesivas. Bien, los cálculos que siguen de multiplicación de matrices también me da mucha pereza ponerlos..son triviales y voy muy lento con latex,especialmente con matrices que las acabo de aprender a escribir...así que ahora pongo los resultados que me han salido,pero si alguien lo requiere por lo que sea o si saco un rato o tal,mañana pongo los detalles,y así queda todo más completito.
    ..El caso,al final se obtiene que ,pero recordemos que por lo realmente solo tenemos que multiplicar el término de la primera fila y segunda columna de A^{n} por 1..y obtendremos f_{n}! de modo que:
    y ahora viene el golpe de gracia, observar que (joder, podía haber utilizado esta identidad antès para simplificar ay )..y bueno,ya es evidente que nos queda la siguiente fórmula interesante:

    Y bueno,pues eso,estaba "endeudado" con luis y espero que alguien más haya encontrado interesante esta cosa si no le sonaba :D

  2. #2
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    Re: Sucesión de Fibonacci

    Hola morytelov: El método que has empleado es muy ingenioso, y para gusto, muy elegante. Al mismo resultado se llega si resolvemos el problema usando lo que se llama "ecuación característica" de una sucesión, y el concepto de independencia lineal. Te invito a que investigues, seguro que te va a gsutar el tema. ;)

    Por cierto, y a título informativo, la fórmula que has encontrado para los núemros se llama fórmula de Benit. Pues lo dicho, muy ingenioso tu método

    Saludos!

  3. #3
    Senior Member Avatar de luis esc
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    Re: Sucesión de Fibonacci

    Muy bien, mory! Gracias por poner esta deducción que sabías que tanto ansiaba! :D jeje

    Sólo dos cosillas,

    -La expresión matricial:



    puedes también probarla por inducción. ;)

    -Si quieres, a ver si saco un ratito y trato de justificar (al igual que lo hize en el otro hilo ) por qué la matriz es diagonalizable, aunque por su aspecto, no debe ser complicado.


    Bueno, pues muy buen trabajo mory! Sigue asi!
    Lo que interesa de un anillo no es la naturaleza conjuntista d sus elementos sino cómo los relacionan las leyes internas

    El núcleo de la teoría de extensiones algebraicas consiste en obtener informacion de una extension normal K/k a partir del conjunto G(K/k), el grupo de Galois

    Ivorra

  4. #4
    morytelov
    Guest

    Re: Sucesión de Fibonacci

    Cita Iniciado por Ggarcia
    Hola morytelov: El método que has empleado es muy ingenioso, y para gusto, muy elegante. Al mismo resultado se llega si resolvemos el problema usando lo que se llama "ecuación característica" de una sucesión, y el concepto de independencia lineal. Te invito a que investigues, seguro que te va a gsutar el tema. ;)

    Por cierto, y a título informativo, la fórmula que has encontrado para los núemros se llama fórmula de Benit. Pues lo dicho, muy ingenioso tu método

    Saludos!
    Gracias! seguiré investigando sobre el tema, sí No sabía el nombre de fórmula de Benit, después de comer busco más información :D

    Cita Iniciado por luis esc
    Si quieres, a ver si saco un ratito y trato de justificar (al igual que lo hize en el otro hilo ) por qué la matriz es diagonalizable, aunque por su aspecto, no debe ser complicado.
    Ciertamente, siguiendo los criterios que expusisttes en el otro post,vemos que el pol.característico resulta ser vemos que la suma de la multiplicidad de los autovalores es dos (la dimensión del espacio) y ya se ha visto en el primer post que cada autovalor genera un espacio vectorial de autovectores de dimensión uno (que coincide con la multiplicidad algebraica de cada autovalor),así que (creo que no mevequivoco ) con esto ya queda probado que la matriz A es diagonalizable.
    bueno,ahora me marcho a comerr
    xao!

  5. #5
    Senior Member Avatar de Smaigol
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    Re: Sucesión de Fibonacci

    Joer,morytelov, un método muy bonito, y válido para cualquier fórmula recursiva lineal. Macho, siento decirte esto, pero te vas a aburrir como una ostra en los primeros cursos de la carrera .

    Ciencia es toda disciplina en la que los tontos de una generación pueden llegar más lejos que los genios de la precedente.   

    The cake is a lie.

  6. #6
    Senior Member Avatar de gm
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    Re: Sucesión de Fibonacci

    Cita Iniciado por Ggarcia
    ...Por cierto, y a título informativo, la fórmula que has encontrado para los núemros se llama fórmula de Benit...
    de Euler-Binet.

  7. #7
    Senior Member Avatar de gm
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    Re: Sucesión de Fibonacci

    Cita Iniciado por Smaigol
    ...Macho, siento decirte esto, pero te vas a aburrir como una ostra en los primeros cursos de la carrera .
    Eso dependerá... (de la carrera, los profesores). Pero, mientras siga con el entusiasmo que ha demostrado, no creo que se aburra mucho.

  8. #8
    Senior Member Avatar de Smaigol
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    Re: Sucesión de Fibonacci

    Cita Iniciado por gm
    Eso dependerá... (de la carrera, los profesores). Pero, mientras siga con el entusiasmo que ha demostrado, no creo que se aburra mucho.
    Yo lo decía porque cosas como diagonalización por ejemplo a menudo constituyen el núcleo de un cuatrimestre entero del primer curso de una carrera de ciencias. Si no te enseñan cosas que no sepas es difícil mantener el interés.

    Ciencia es toda disciplina en la que los tontos de una generación pueden llegar más lejos que los genios de la precedente.   

    The cake is a lie.

  9. #9
    Senior Member Avatar de gm
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    Re: Sucesión de Fibonacci

    Cita Iniciado por Smaigol
    Yo lo decía porque cosas como diagonalización por ejemplo a menudo constituyen el núcleo de un cuatrimestre entero del primer curso de una carrera de ciencias. Si no te enseñan cosas que no sepas es difícil mantener el interés...
    Y yo lo decía porque si para cuando tome ese curso (para seguir con el ejemplo) ya sabe los métodos y técnicas detrás de las formas normales para una matriz, entonces seguramente estará pensando en problemas como el de la obtención de formas normales cuando se trata de reducción simultánea de dos matrices.

  10. #10
    Senior Member Avatar de luis esc
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    Re: Sucesión de Fibonacci

    Ya se lo dije ayer cuando hablé con él, ojalá hubiese empezado yo también a su edad a estudiar "seriamente",
    (sentimiento de tiempo desaprovechado por falta de una guía o motivación externa y más aún sabiendo que disponía del entusiasmo y dedicación necesarios).
    Lo que interesa de un anillo no es la naturaleza conjuntista d sus elementos sino cómo los relacionan las leyes internas

    El núcleo de la teoría de extensiones algebraicas consiste en obtener informacion de una extension normal K/k a partir del conjunto G(K/k), el grupo de Galois

    Ivorra

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