Contracción de la longitud en la relatividad especial

[Entro]

Bueno, para follones estamos, las cosas son como son... no por eso hay que buscar la salida más "fácil". También sería más facil si en vez de usar cámaras de niebla, que como ejemplo no están mal, usamos detectores de tiempo de vuelo para partículas cargadas, así tendríamos una medida de la velocidad que lleva la partícula sin necesidad de introducir ni factores de masa ni radios de curvatura, solo variables cinemáticas, tiempos y espacios.

En realidad no entiendo lo que estas proponiendo, no se cual es tu argumento en todo esto.

[Fortuna]

no se cual es tu argumento en todo esto.

Lo que puse al principio

No me cansare de repetirlo. Esa es la peor evidencia experimental de la veracidad de la RE.

Ese ejemplo se pone muy a menudo como un caso claro de evidencia experimental, pero necesitas algunas o varias de estas explicaciones, alargar el tiempo de vida del muon, contraer la longitud , aumentar la masa, o explicar que es la radiación de cherenkov frente a la hipótesis falsa, pero sencilla de que viajo mas rápido que la luz.

[luis esc]

Hola mat, gracias.

Hay una cosa y es esta:

Teorema: "En una Variedad de Lorentz, si una Geodésica Time-Like conecta dos puntos dados en la Variedad, entonces su longitud es mayor que la longitud de cualquier otra Curva Time-Like Continua y Diferenciable a Trozos que conecte dichos dos puntos (y que no sea geodésica)".

de la que en particular me interesa:

su longitud es mayor que la longitud de cualquier otra Curva Time-Like Continua y Diferenciable a Trozos que conecte dichos dos puntos (y que no sea geodésica)".

Tenía entendido que, entre dados dos puntos, la curva cuya longitud es mínima entre esos dos puntos, es la curva geodésica (por ejemplo, en el plano o espacio euclídeo es la recta).
De todas formas, parece que estés hablando de otro tipo de curva geodésica, una de tipo temporal por decirlo de alguna forma, mientras que yo quizá esté hablando de una tipo espacial en el sentido de calcular cuánta distancia hay entre dos puntos.
Entonces, lo que me choca es que esa geodésica sea la de longitud mayor entre esos dos puntos cuando tenía entendido que las curvas geodésicas entre dos puntos describen la distancia minimia entre ellos.
Pero vamos, alomejor te estás refiriendo a otra cosa.
A ver si me pudieras aclarar esta confusion que tengo.

Gracias

[Entro]

@Fortuna:

Si, y esa sería una explicación excelente si no fuera porque no puede. Esto de los muones se descubrió despues de la relatividad especial.

Y como he leido por ahí que te gustan las construcciones de relatividad especial basadas en el efecto Doppler, te recomendaría (por si no lo conoces) que buscaras algo sobre el K-calculus o Bondi K-calculus, que es la base de esta definición.

Es una construcción de relatividad especial maravillosamente simple basada en cuatro dibujitos. Es la base de esto del efecto Doppler. En la red no se si habrá algo, pero para empezar se puede mirar esto:

http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0110/0110007.pdf

Pero la mejor referencia es el primer capítulo o segundo de este libro:

http://www.amazon.com/Introducing-Ei.../dp/0198596863

[Entro]

Luis_esc:

Mientras llega mat, que seguro que lo explica con todo lujo de detalle, las geodésicas son curvas extremales de la "distancia" (una acción física). Pueden ser máximo o mínimos, en concreto para el caso de ser temporales, y debido a la geometría pseudo-Riemanniana (o Riemanniana a secas como se acostumbra ahora) del espaciotiempo, estas curvas dan las distancias espaciotemporales máximas.

Si la curva es tipo espacial, entonces nos da el mínimo de separación espacial entre dos puntos.

[luis esc]

Gracias Entro, algo así me esperaba.

en concreto para el caso de ser temporales
...
estas curvas dan las distancias espaciotemporales máximas.

Entonces, tales curvas ofrecerían cuál es la distancia espacio-temporal más grande?
Creo que lo que no acabo de comprender es que, no se por qué pero para mí, esa curva que daría la distancia espacio-temporal más grande sería una curva que iría desde el primer punto hasta el infinito y luego desde el infinito hasta el segundo punto.
Algunos detalles se me deban estar escapando.
Quizá yo solo esté pensando en términos de espacio, sin embargo, aquí, parece que más que hablarse de una distancia espacial, se hable de una distancia espacio-"temporal" e igual ese matiz es el que me confunde.

Gracias.

[Entro]

El caso que tu propones sería una curva de longitud infinita.

El problema es el siguiente. Yo quiero ir de un punto p a un punto q con una línea temporal, esto quiere decir que en todo punto me encuentro dentro del cono de luz local, no fuera, no sobre el cono. Estas líneas tienen vectores tangentes cuyo módulo es negativo (en caso de trabajar con una signatura - + + +).

Además hemos de recordar que la definición de geodésica viene de extremar la "longitud" de la curva. ¿Por qué sale el máximo posible? Primero porque hemos encontrado un extremal, así que será o bien máximo o mínimo (quitando otros casos más complicados).

Pero si ahora cogemos los puntos p y q, siempre puedo tomar curvas nulas (y las curvas nulas tienen una longitud nula en su parámetro, otra cosa chunga de pillar) que aproximen, a trozos, la curva temporal. Esto significa que siempre puedo encontrar una curva de menor longitud que la temporal, de hecho longitud 0. (Te pintas dos puntos una curva y la aproximas por un zig-zag). Si la temporal fuera un mínimo esto no podría darse.

Es un poco complicado de entender, es la gracia de las variedades Lorentzianas. De hecho, es mejor no entenderlo y ya está... (con esto me refiero a no buscarle una imagen cotidiana) y convencerse que todo es consistente y buscarle el sentido físico.

Uno puede pensar en una geodésica como un camino que conecta p y q (q está en el futuro de p) dejandose llevar (caida libre). Cualquier otra línea tendrá un tiempo propio (longitud temporal) menor... porque se está ayudando (acelerando).

[mat]

Luis esc, no tengo mucho tiempo ahora, pero intentaré resumirlo:

Una Variedad Semi-Riemanniana de dimensión es una Variedad Diferenciable (normalmente se supone Hausdorff y II-Numerable) con un "Tensor Métrico" (Campo Tensorial Diferenciable 2-Covariante Simétrico no Degenerado y de Signatura Constante).

Si la Signatura es ( o que puede reducirse al caso anterior) se dice que es Riemanniana. En caso contrario es Semi-Riemanniana pero no Riemanniana (es decir, Riemanniana es un caso particular de Semi-Riemanniana).

Es el Tensor Métrico el que permite definir conceptos como Longitud de una Curva (continua y diferenciable a trozos), Ángulo entre curvas que se cortan en un punto, y Medida de n-Volumen en la Variedad (si ésta es Orientable, aunque una Medida de n-Volumen también se puede definir sin necesidad de un Tensor Métrico, de nuevo suponiendo la Variedad Orientable).

Una Variedad de Lorentz es un caso particular de Variedad Semi-Riemanniana que no es Riemanniana. Es cuando la Signatura del Tensor Métrico es (o análogamente que se puede reducir al caso anterior).

En el caso de Variedad de Lorentz, el Tensor Métrico posibilita además definir conceptos como Curvas/Vectores/Subespacios Time-Like o Space-Like o Null-Like que no tienen sentido en una Variedad Riemanniana.

En una Variedad Riemanniana, si dos puntos están conectados por una geodésica (y dicha geodésica está contenida en algún Entorno Normal de alguno de dichos puntos), entonces su longitud es menor que la longitud de cualquier otra curva continua y diferenciable a trozos que conecte dichos dos puntos (y que también esté incluída en dicho Entorno Normal).

En una Variedad de Lorentz, ocurre "lo contrario", al menos para las geodésicas time-like.

Toda Subvariedad de una Variedad Riemanniana es a su vez una Variedad Riemanniana (porque el Campo Tensorial Diferenciable 2-Covariante Simétrico No Degenerado y de Signatura Constante , restringido a la Subvariedad, da lugar a un Campo Tensorial Diferenciable 2-Covariante Simétrico No Degenerado y de Signatura Constante definido sobre dicha Subvariedad de dimensión .

Pero esto no es cierto para Subvariedades de Variedades Semi-Riemannianas en general.

En el caso general de Variedades Semi-Riemannianas, la restricción de su Tensor Métrico a una Subvariedad será un Campo Tensorial Diferenciable 2-Covariante y Simétrico, pero podría ser Degenerado o no tener Signatura Constante, por lo que no sería un Tensor Métrico para la Subvariedad.

En el caso de Variedades de Lorentz, puede tener Subvariedades que también sean de Lorentz, o Subvariedades Riemannianas, o Subvariedades que no sean siquiera Semi-Riemannianas (como he dicho en el párrafo anterior).

En las Variedades de Lorentz que se usan en RG, la longitud de las curvas time-like se interpreta (en la Relatividad General) como el Tiempo Propio del Observador cuya Línea de Mundo es dicha curva.

Por otro lado, dichas Variedades de Lorentz que se usan en RG tienen determinadas SubVariedades Space-Like que son Riemannianas y que corresponden al "Espacio en cada instante de tiempo", y en dichas Subvariedades, la longitud de una curva (que ahora será Space-Like, no Time-Like) se interpreta en RG como la longitud "habitual" (la longitud de una cuerda que una dos puntos del espacio, por ejemplo).

En fin, no puedo seguir ahora, además, con estas prisas me está saliendo una mierda de post, porque no puedo estructurar la explicación como me gustaría (si tuviera más tiempo) y probablemente no te estaré ayudando mucho.

De todas formas, es una materia extensa y requiere amplios conocimientos matemáticos previos (la Geometría Semi-Riemanniana, me refiero), pero es preciosa y además la RG "es" Geometría Semi-Riemanniana.

[luis esc]

Muchas gracias, mat, con todo esto ya me hago una idea general, además, como dices, para entenderlo correctamente hay que tener unos conocimientos previos de los que ahora apenas dispongo.
Pero como he dicho, con esto ya me vale y me quedo más que satisfecho.

[Fortuna]

Gracias Entro, por los enlaces.

También sería más facil si en vez de usar cámaras de niebla, que como ejemplo no están mal, usamos detectores de tiempo de vuelo para partículas cargadas, así tendríamos una medida de la velocidad que lleva la partícula sin necesidad de introducir ni factores de masa ni radios de curvatura, solo variables cinemáticas, tiempos y espacios.

Seria interesante saber como funcionan esos detectores. ¿Podrian medir velocidades superluminicas?. Habria que tener ciertos cuidados en el tema de la sincronizacion. Evidentemente, si medimos v<c por los detectores, y la velocidad calculada en la camara de niebla sale que v>c, esta claro que seria una evidencia.