Series y números racionales.

**MarcoPolo** · 14/01/2009 20:42

¿Cómo podría abodarse el tema para saber si una serie infinita decreciente de funciones, de términos racionales (concretamente alternada), y con límite finito, converge en un número racional, o más bien en un cociente de funciones racionales?

Para una determinada serie, obteniendo las sucesivas series parciales S1,S2,...Sn, obtengo una fracción de funciones racionales, con numerador y denominador primos entre sí, y que tienden a infinito, por lo que aparentemente nunca se obtendrá un cociente con numerador y denominador finitos, como correspondería a un número racional. ¿Garantiza ésto que el límite de la serie no es un número racional?

Como contraejemplo, la sucesión a+1/a, (a.b+1)/a.b, (a.b.c+1)/a.b.c,.... tiene el numerador y denominador primos entre sí, y tienden a infinito con a,b,c...enteros, pero tiene límite racional =1.

Gracias por la posible ayuda.

Saludos.

Edito: Si el término general de la serie Sn, se puede descomponer, como en el contraejemplo, en un término fijo más otro que tiende a cero (1+1/a.b.c...), es evidente que el límite es racional e igual al término fijo. Si esa descomposición no es posible, me parece claro que el límite no puede ser una fracción, o sea, un número racional.
Pero ¿como se puede estar seguro de que dicha descomposición no es posible?.

**Fortuna** · 14/01/2009 22:15

por lo que aparentemente nunca se obtendrá un cociente con numerador y denominador finitos, como correspondería a un número racional

Lo importante es que converge, pero , en general, ningún término será igual al límite, por mucho que avances en la serie.

**MarcoPolo** · 14/01/2009 23:17

Iniciado por Fortuna

por lo que aparentemente nunca se obtendrá un cociente con numerador y denominador finitos, como correspondería a un número racional

Lo importante es que converge, pero , en general, ningún término será igual al límite, por mucho que avances en la serie.

Lo que dices es cierto, pero no me resuelve la cuestión.

Cuando digo nunca, me refiero al límite. Para cualquier número finito de términos, que son todos racionales, siempre se obtiene un número racional, que puede diferir del límite tan poco como se quiera. Pero ese poco marca la diferencia entre un número racional (una fracción periódica, cuyo periodo cambia con el número de términos utilizados) y uno irracional.

Saludos.

Edito:

Cada nuevo término añadido supone la suma de un nuevo número periódico de mayor periodo(1), que machaca el periodo de la serie parcial anterior, dando un nuevo periodo. Según ésto, y de acuerdo con (1), la longitud del periodo parece que se alargará indefinidamente, o sea, que en el límite el periodo será de longitud infinita, lo que equivale a la inexistencia de periodo repetitivo de longitud fija, y esto equivale a un número irracional. Pero ésto no demuestra que no se vaya produciendo un anteperiodo repetitivo, que configure en el límite un periodo final, y por tanto, un número racional.

(1) El número de cifras del periodo viene condicionado por el número de factores primos del denominador de cada término, y sus exponentes, que son crecientes en el presente caso, y creciente por tanto las cifras del periodo de los nuevos términos añadidos, periodo que se produce a partir de cierta cifra decimal en cada caso.

**Fortuna** · 15/01/2009 00:54

Es que los números reales se pueden definir por sucesiones de Cauchy de números racionales cuando el limite de dicha sucesion no está en Q. El caso típico de $\sqrt{2}$ , cuya demostración ya conoces con seguridad.

Entiendo lo que dices. Si cada término de la serie es racional, ¿por qué el límite es irracional?... Pues porque se demuestra que no es racional, y de esa forma se "inventa" un conjunto que incluya a los racionales, estos números y todo lo "inventado" anteriomente.

Ahora bien, si permitimos que $r=\frac{p}{q}$ cuando tanto p como q son infinitos primos ente sí (que es la solución a tu problema, dado que todo término de la sucesión está en Q) , pues ya no te hace falta R, pero tendrás otras complicaciones.

Uff cuando los matemáticos me lean....

**MarcoPolo** · 15/01/2009 03:29

Iniciado por Fortuna

Es que los números reales se pueden definir por sucesiones de Cauchy de números racionales cuando el limite de dicha sucesion no está en Q. El caso típico de $\sqrt{2}$ , cuya demostración ya conoces con seguridad.

Entiendo lo que dices. Si cada término de la serie es racional, ¿por qué el límite es irracional?... Pues porque se demuestra que no es racional, y de esa forma se "inventa" un conjunto que incluya a los racionales, estos números y todo lo "inventado" anteriomente.

Ahora bien, si permitimos que $r=\frac{p}{q}$ cuando tanto p como q son infinitos primos ente sí (que es la solución a tu problema, dado que todo término de la sucesión está en Q) , pues ya no te hace falta R, pero tendrás otras complicaciones.

Uff cuando los matemáticos me lean....

Si, conozco la antigua y sencilla demostración de la irracionalidad de raiz(2). Se daba en el bachillerato.
En cuanto a la irracionalidad del límite de una serie infinita de términos racionales, no me produce ninguna extrañeza. Se van añadiendo sucesivamente decimales con cada término, y si no se produce una repetición periódica, (pueden ser ceros), el límite es irracional. Pero ésto no lo sabemos.

Lo que me interesa es saber qué procedimientos pueden emplearse para demostrar, como dices, que el límite no es racional.
Yo he sugerido uno: que la serie parcial, para cualquier n, venga dado por una fracción no simplificable cuyo numerador y denominador crecen indefinidamente, lo que implicaría aparentemente que no existe una fracción finita que represente el límite. Pero creo que el razonamiento no es matemáticamente riguroso, dado el contraejemplo, aunque como hemos visto, éste cumple la condición de ser igual a un término constante más otro que tiende a cero. Y es evidente que si no existe el término constante, la serie es irracional. Pero saber si existe o no dicho término, esa es la cuestión.
En cuanto a p y q que mencionas como infinitos primos entre sí, (

) no lo entiendo bien. Supongo que te refieres a primos entre sí que tienden hacia infinito.

Tal vez no exista ningún criterio que pueda aplicarse de forma general, y haya que ingeniárselas en cada caso concreto.

Saludos.

Charlie_ · 15/01/2009 18:35

Hombre, no es muy difícil demostrar que una sucesión tiende a un número (real) r si y solo si sus términos se pueden exprear como a_n = r - b_n donde b_n es una sucesión que tiende a 0.
En un sentido, supongamos que a_n tiende a r. Entonces podemos escribir a_n = r - (r - a_n). Como a_n tiende a r, r - a_n tiende a 0, entonces lim ( r - (r - a_n) ) = lim r - lim (r - a_n) = r - 0 = r. Por tanto basta tomar b_n = r -a_n.
En el otro sentido es trivial, si podemos escribir una sucesión a_n como a_n = r - b_n y b_n tiende a 0, por las propiedades elementales de los límites, lim a_n = lim (r - b_n) = lim r - lim b_n = r - 0 = r.

Claro que esto no aclara mucho las cosas, porque que yo sepa no hay ningún procedimiento útil (aparte de calcular directamente el límite, claro) que te permita asegurar que una sucesión (de la que en principio no sabes cuál es su límite) no se puede descomponer como r - b_n donde b_n tiende a 0. De hecho si existiera un procedimiento sistemático para decidir esto, por lo dicho antes tendríamos un procedimiento para conocer el límite de cualquier sucesión.
Que yo conozca tampoco hay ningún método general para determinar si ese r es racional o no, de nuevo si existiera tendríamos un procedimiento general para saber si un número dado como límite de una sucesión es o no racional, cosa que sería todo un chollo. Así que me parece que habría que estudiarlo caso por caso.

Saludos

**schumacher** · 17/01/2009 23:58

alguein sabria adivinar la continuacion a esta serie.
No consigo adivinarla (pienso que en esto de las series cualquier respuesta bien razonada es correcta)

1 2 42 1806

aver si alguien me dice el numero que sigue porfa

**Nexus 7** · 18/01/2009 00:08

Te falta el 6 entre el 2 y el 42

1, 2, 6, 42, 1806, 3263442

Saludos.

**dacscaro** · 18/01/2009 00:15

Pues $6^2+6=42$ y $42^2+42=1806$ no se si eso te ayude(los dos primeros términos así a bote pronto no se me ocurre como armarlos, pero $2^2 +2=6$ y $1^2+1=2$ y si defino como el primer término como $1$ entonces tengo la serie. A la serie que nos diste tal vez le falte el $6$ ......)......

Saludos
dacscaro

Postdata: Ups nexus se me adelanto

**Nexus 7** · 18/01/2009 00:25

Iniciado por dacscaro

Postdata: Ups nexus se me adelanto

Yo había visto: $S_0=1$ y $S_n=S_{n-1} (S_{n-1}+1)$
1·2 = 2
2·3 = 6
6·7 = 42
...

Y tú has visto: $S_0=1$ y $S_n=S_{n-1}^2 + S_{n-1}$
1²+1 = 2
2²+2 = 6
6²+6 = 42
...

Son la misma (es como si yo hubiera sacado factor común a la tuya), pero ... ¡Me encanta ver como funciona el razonamiento ajeno!

Saludos.

Tema: Series y números racionales.

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