Descomposicion espectral

**almeja20032004** · 29/09/2008 06:14

Hola Alguien me puede ayudar explicandome que significa hacer la descomp espectral de un operador dada su matriz asociada? Gracias

**Paranoid Neutrino** · 29/09/2008 07:23

Hola,

El conjunto de valores propios de una matriz $A$ suele llamarse a veces el "espectro" de $A$ . Además, tenemos el siguiente teorema:

Una matriz $n\times n$ , simétrica, tiene las siguientes propiedades:

1) A tiene $n$ valores propios reales, contando multiplicidades
2) Si $\lambda$ es un autovalor de $A$ , de multiplicidad $k$ , entonces el espacio propio de $\lambda$ es $k$ -dimensional.
3) Los espacios propios son mutuamente ortogonales, es decir, que los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales.
4) $A$ es ortogonalmente diagonalizable.

Ahora, supón que $A$ tiene una diagonalización ortogonal $A=PDP^{-1}$ , donde las columnas de $P$ son vectores propios ortonormales $v_1,\dots, v_n$ de $A$ y los valores propios correspondientes $\lambda_1,\dots, \lambda_n$ están en la matriz diagonal $D$ . Entonces, como $P^{-1}=P^T$ ,

$<br /> A=PDP^T = [v_1 \dots v_n] \left[ \begin{array}{ccc} \lambda_1& &0 \\ &\ddots& \\ 0& &\lambda_n \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} v_1^T \\ \vdots \\ v_n^T \end{array}\right]$

$\quad = [\lambda_1 v_1 \dots \lambda_n v_n] \left[ \begin{array}{c} v_1^T \\ \vdots \\ v_n^T \end{array}\right]$

Ahora, usando la descomposición de columnas y filas de un producto, podemos escribir:

$A= \lambda_1 v_1 v_1^T + \lambda_2 v_2 v_2^T + \dots + \lambda_n v_n v_n^T$

A esta representación de $A$ , le llamamos la "descomposición espectral", puesto que la rompe en pedazos según su espectro. Además, cada término de la suma es una matriz $n\times n$ de rango $1$ .

Trata de hacer un par de ejemplos y verás que es casi de rutina hacer esto. Si tienes dudas, pues ya sabes

**almeja20032004** · 30/09/2008 04:35

Hola Paranoid, tu explicacion fue clarísima, se entiende mas que bien. Voy a hacer un par de ejemplos igual por las dudas.
Gracias por tu tiempo

Saludos

Tema: Descomposicion espectral

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