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Tema: Función, dominio y contradominio.

  1. #1
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    Función, dominio y contradominio.

    Hola

    En forma analítica, ¿cómo puedo demostrar que una ecuación es una función?, y sí es una función como determino su dominio y su contradominio.

    Por ejemplo:

    De la siguiente ecuación, determinar si en verdad es una función, además de su dominio y su contradominio. (Solo usara métodos graficos para comprobar su respuesta)




    De antemano muchas gracias por su ayuda y tiempo invertido en mi gran problema.
    :oops:

  2. #2
    Senior Member
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    07 dic, 07
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    285
    Agradecimientos

    Función, dominio y contradominio.

    Hola Nova:

    Puedes pensar intuitivamente en una función como una regla que asigna a cada elemento de un conjunto , un elemento del conjunto .

    En tu caso, normalmente no van a mencionar explícitamente al conjunto o al , puesto que se conviene que sea el conjunto de todos los números reales (que se expresan con la letra ) para los cuales la regla en cuestión tenga sentido; mientras que se conviene que sea, de nuevo, el conjunto de todos los números reales.

    Pero, ¿qué es una regla? Una regla de asignamiento es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos (el producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados entre elementos de y ), con la propiedad de que cada elemento de aparece en la primera coordenada de a lo sumo un par ordenado que pertenezca a .

    Esta regla de asignamiento permite definir algunos conceptos, como el dominio de , que es un subconjunto de , y que consiste en todas las primeras coordenadas de elementos de , y el conjunto imagen, que es el subconjunto de que consiste de todas las segundas coordenadas de elementos de .

    Una función, en sentido más formal, es entonces una regla de asignamiento , junto con un conjunto , que contiene al conjunto imagen de . El dominio de la regla es el dominio de la función; el conjunto imagen de es también el conjunto imagen de la función; y el conjunto se conoce como el rango de la función.

    Veamos cómo se aplica esto a tu ejemplo:



    Esto que te dan aquí es la regla de asignación. Dado un , la regla te dice cómo obtener un . Como no han explicitado nada más, podemos asumir que los conjuntos de los cuales sacas cada y cada son

    Primero veamos qué es lo que la regla establece. Supongamos que le doy un y=5. Entonces . De modo que se forma el par " />. Puedes verificar que y son también pares.

    La regla, en este caso, son todos los pares para los cuales el ejemplo dado tiene sentido. Por supuesto, hay casos de paressin sentido, como (¿por qué?).

    Retomemos, ahora, la definición de función que estamos usando:

    Una función, en sentido más formal, es entonces: una regla de asignamiento

    En efecto, este requisito se cumple, pues tenemos una serie de pares ordenados, y además, a cada primera coordenada , le corresponde sólo una segunda coordenada . (¿puedes encontrar alguna coordenada tal que existan dos segundas coordenadas posibles ? ¿Cómo demostrarías que no pueden haber varias?)

    ...junto con un conjunto , que contiene al conjunto imagen de

    ¿Cuál es el conjunto imagen de ? Pues todas las segundas coordenadas de con sentido. ¿Puedes determinar cuáles serán?

    Para encontrar el tal , entonces, bastará escoger a cualquier conjunto que contenga al conjunto imagen de (la regla), es decir, bastará escoger a cualquier conjunto que contenga a todas las segundas coordenadas con sentido de (la regla). ¿Puedes encontrar un conjunto que cumpla eso?

    ...El dominio de la regla es el dominio de la función

    ¿Recuerdas la definición del dominio de la regla? Eran todas las primeras coordenadas posibles en la regla . ¿Puedes escribir la definición del conjunto de todas las primeras coordenadas posibles de la regla?

    ...el conjunto imagen de es también el conjunto imagen de la función

    Pues lo que dice, ¡bautiza al conjunto imagen de la función como el conjunto imagen de la regla!

    ...y el conjunto se conoce como el rango de la función.

    Lo mismo que antes. Tras encontrar , entonces, bautízalo como el rango de la función.*

    Sin embargo, tú tienes otro nombre allí: el contradominio. Asumo que se refieren al conjunto imagen de la función. No hay más misterio que el hecho de que diferentes profesores y autores, nombran a veces a estos conjuntos de formas no usuales, tal vez para ayudar a su forma de explicar estos temas.

    Algo importante es saber diferenciar la función (que, como ves, es una colección de requisitos y nomenclatura que deben juntarse todos a la vez), con la regla, que es el "algoritmo" que te permite encontrar cada par correspondiente a un número que vayas probando.

    No obstante, a ti te piden ayudarte de una gráfica. Como puedes darte cuenta, la gráfica lo que hace es ir dibujando todos los pares (y,x) de la regla dada. Una "ayuda" visual consiste en ver si una línea vertical imaginaria, que barre de izquierda a derecha el gráfico (o viceversa), cruza más de una vez a la curva de la función (que en este caso es una parábola un poco descolocada).

    Toma en cuenta que no es lo mismo tomar pares (y,x) que pares (x,y). De hecho, si tomas los segundos, ya no tendrás una función. Esta ayudita de la línea vertical imaginaria ahora se comportará diferente. ¿Puedes encontrar la relación entre la definición de una función y el hecho de que cruce o no la curva una sola vez?

    Espero que esta introducción te sirva para no sólo conocer los nombres de las cosas, sino ir visualizando cómo en matemática, y en especial cuando se habla de funciones, es vital ir incorporando ideas de cómo cada conjunto representa algo en especial de la función. Todos esos nombres: rango, imagen, contradominio, dominio, etc, ¡son conjuntos!



    --------------------------
    * Dependiendo de diferentes nomenclaturas, encontrarás ligeras variaciones entre lo que se considera rango y conjunto imagen de una función. Pero para propósitos inmediatos, lo desarrollado es buen consenso (lo otro, sería inmiscuirse en subconjuntos del conjunto de llegada y, si bien ayuda a lo formal, no agrega más a lo intuitivo).[/tex]
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