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Tema: Qu es un punto en matemticas? cmo se expresa?

  1. #11
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    Qu es un punto en matemticas? cmo se expresa?

    Cita Iniciado por rory
    Hola mat

    Pues no tena ni idea, o sea que punto y elemento de un conjunto son sinnimas aunque slo se suele emplear de vez en cuando, pero sin regla general, eso creo haber deducido de tus palabras mat.


    Entonces, qu es un punto en el espacio?
    Es que esa pregunta no tiene sentido matemtico. Un "punto del Espacio" no es nada matemtico.

    Entre las infinitas estructuras matemticas de todo tipo que hay, tenemos la estructura matemtica "Espacio Afn Eucldeo " (cuya definicin es matemtica y por tanto totalmente independiente de cualquier imagen visual) que los fsicos pueden usar para modelar el Espacio "real" en determinadas circunstancias, aunque tambin podramos usar esa misma estructura para modelar cualquier otra cosa, como el crecimiento de los piojos de una rata.


    En cinco dimensiones, yo tengo un elemento llamado punto y lo podr expresar tambin en un sistema de coordenadas.
    NO. T no tienes ningn punto. T primero consideras una determinada Estructura Matemtica (la que te de la gana, segn tus propsitos). Por ejemplo, consideremos el Espacio Vectorial Real "" (El Espacio Vectorial de los polinomios con coeficientes reales en una indeterminada, de grado menor o igual que 4).

    Ahora, a sus elementos los llamo "puntos" (en este caso son polinomios). Si t dices "quin es el punto que en la Base Cannica de ese Espacio Vectorial corresponde a las coordenadas ? ". Pues ser el polinomio .

    Ahora bien, si consideramos cualquier otra estructura matemtica, entonces punto significar otra cosa, los elementos de esa otra estructura.

    En resumen, primero la Estructura Matemtica, y luego a sus elementos los llamamos "puntos".

    Y nada de ello tiene nada que ver necesariamente con algo "real". Otra cosa es que los fsicos (y los propios matemticos tambin) queramos usar en un momento dado una estructura concreta como para modelar "el Espacio" (en cuyo caso los "puntos" se interpretarn como "regiones muy pequeitas del Espacio"), o para modelar un Sistema Qumico de 3 magnitudes (en cuyo caso los "puntos" se interpretarn como "estados de dicho Sistema"), o para modelar lo que consideremos oportuno.

    cul es el conjunto de los puntos que vemos con nuestro ojos para despus expresarlos en cualquier sistema de coordenadas? cmo se expresa ese conjunto en matemticas? creo que hay que echar mano de un sistema de referencia para representarlos.

    pero cmo se extiende esto a dimensiones de 4 ms?

    Edit:cuando escrib este mensaje, slo estaba un mensaje de mat contestndome. ahora veo otro de mat y de grufey, los contesto despus de este.un saludo
    Es que es al revs:

    existen infinidad de estructuras matemticas, cuya definicin es totalmente independiente de cualquier cosa visual o "fsica". Son definiciones puramente matemticas (es decir, "relacionales").

    Despus, los fsicos (y matemticos aplicados, o realmente el que le apetezca) puede fijarse en un determinado fenmenos "fsico" (ejemplos: "El Espacio", "la poblacin de piojos de mi perra", "un sistema qumico", "una pelota cayendo por un monte".....) y tomar una determinada estructura matemtica, hacer una interpretacin "fsica" de dicha estructura y ver si saco algo til de ello o no.

    Precisamente, (y esto tiene que ver con las discusiones mas con Pink), el hecho de que las estructuras matemticas sean tan "tiles y necesarias" para modelar infinidad de fenmenos naturales "fsicos", es precisamente porque las definiciones de dichas estructuras matemticas son totalmente "relacionales", sin ningn significado semntico, de tal modo que una misma estructura matemtica puede interpretarse como "puntos del espacio", o "como estados de un sistema qumico", o "como estado de una pelota cayendo", o "como estado de la poblacin de piojos de mi perra", o como un montn de cosas ms.

    A una misma estructura matemtica se le pueden dar infinidad de interpretaciones distintas precisamente porque en su definicin no hay ningn significaco semntico.
    por qu te cambiaste a Matemticas? Porque la primera vez que vi una demostracin matemtica...me cautiv.

  2. #12
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    Qu es un punto en matemticas? cmo se expresa?

    Al margen de la discusin puramente semntica (que tan correctamente est comentando mat), quiero hacer una consideracin estrictamente matemtica:

    Cuando t defines un espacio afn, tienes un conjunto con una serie de propiedades (una estructura subyacente, que es precisamente la definicin de espacio afn). Despus, por comodidad, funcionalidad y utilidad, defines lo que se llama un sistema de referencia. Pero eso lo haces a posteriori. Con ese sistema de referencia, a cada punto puedes asociarle, de manera nica, unas coordenadas. Y si cambias el sistema de referencia, cambiarn las coordenadas, pero el elemento seguir siendo el mismo. Es decir, no es exactamente cierto que un punto sean unas coordenaas, de la misma manera que no es cierto que una persona sea su nmero de pasaporte.

    Lo que me parece que te planteas es, entonces, tiene realidad fsica ese ente al que podemos asociar coordenadas? La respuesta es: esa pregunta no es matemtica. Tiene existencia dentro de la Teora de Conjuntos, eso desde luego. Ah no cabe duda alguna, porque precisamente para tomar unas coordenadas tomas primero un sistema de referencia, y para tomar un sistema de referencia tomas un conjunto. As que la existencia matemtica del conjunto est asegurada, y por lo tanto tambin la de los puntos que forman el conjunto. Otra cosa completamente distinta es que ese conjunto con esa estructura matemtica especfica tenga algn modelo fsico asociado...

    Saludos.
    "Aqul que hace una pregunta puede parecer tonto durante cinco minutos. Aqul que no la hace, lo es durante toda su vida" (proverbio chino).

  3. #13
    rory
    Guest

    Qu es un punto en matemticas? cmo se expresa?

    Vale ya lo he entendido. Aunque me ha costado.


    Slo una pregunta ms,

    Cita Iniciado por mat
    En resumen, primero la Estructura Matemtica, y luego a sus elementos los llamamos "puntos".
    Me cuesta creer esto ( no porque sea falso, es que me sorprende, yo no s matemticas suficientes) porque si yo observo algo, no me hace falta haber aprendido matemticas antes. Y si acudo a las matemticas y no encuentro nada, me supongo que habr matemticos que habrn desarrollado las matemticas para que esto no suceda, entonces sera al revs. Primero se observa- >despus se formaliza con matemticas y se avanza desde ah aunque ya deje de ser observable.

    Creo que histricamente , sobretodo al principio, las matemticas eran una extensin de lo que primero se observaba.

  4. #14
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    Qu es un punto en matemticas? cmo se expresa?

    Hay que tener cuidado, parece que no se est entendiendo lo que trato de decir.

    La "motivacin" para definir una estructura matemtica concreta puede venir (segn el caso) de intentar "capturar" algo del mundo fsico real. Eso ha ocurrido muchas veces, sobre todo con los conceptos geomtricos.

    Por ejemplo, no cabe duda de que la estructura matemtica "Espacio Afn Eucldeo de dimensin 3" se construy en cierto modo tratando de capturar nuestra percepcin intuitiva del Espacio Fsico.

    Ahora bien, una vez ya hayamos decido cmo definir MATEMTICAMENTE la Estructura "Espacio Afn Eucldeo de dimensin 3", ello ser una definicin matemtica, y no tendr ninguna referencia, obviamente, a nada que no sea matemtico.

    y cul es esta definicin matemtica?. Pues la siguiente:

    Un Espacio Afn Eucldeo (real) de dimensin 3 es una terna donde:

    es un conjunto no vaco

    es un Espacio Vectorial Eucldeo de dimensin 3

    es una aplicacin que cumple:

    1)Para cada , la aplicacin definida por es biyectiva.

    2)Para cada se verifica que


    Esa es la definicin y como ves no hay en ella nada que no sea puramente matemtico.

    A los elementos del conjunto , se les llama "puntos". Son los puntos del Espacio "fsico"?. Pues no. Son smplemente los elementos del conjunto .

    Y qu "entes matemticos" son los elementos del Conjunto ?. Pues depende de quin sea el conjunto en cada ejemplo concreto de Espacio Afn Eucldeo (real) de dimensin 3.

    Hay infinitos ejemplos distintos, todos ellos isomorfos, de Espacios Afines Eucldeos (reales) de dimensin 3. En alguno, es un conjunto de polinomios, en otro es un conjunto de ternas de nmeros reales, en otro es un conjunto de matrices triangulares,...etc. Y realmente NO IMPORTA la naturaleza concreta del Conjunto mientras la estructura cumpla todo lo que tiene que cumplir, es decir, la definicin de Espacio Afn Eucldeo (real) de dimensin 3.


    La definicin de "Espacio Afn Eucldeo (real) de dimensin 127" es exactamente igual, una terna donde ahora es un Espacio Vectorial Eucldeo (real) de dimensin 127.

    Y de nuevo hay infinitos ejemplos concretos (todos ellos isomorfos), siendo en alguno un conjunto de polinomios, en otro un conjunto de "127-uplas de nmeros reales", en otro un conjunto de matrices curiosas,...etc.

    De nuevo no importa "qu entes matemticos concretos sean los que forman el conjunto " (que como digo depender del ejemplo concreto) mientras la estructura cumpla la definicin de Espacio Afn Eucldeo (real) de dimensin 127".


    Y a los elementos del conjunto los llamamos "puntos" de ese Espacio Afn Eucldeo de dimensin 127.


    As que resumiendo:

    "definir" en matemticas, es bsicamente tomar una determinada cadena del Lenguaje Formal de la Teora de Conjuntos y ponerle un "nombre".

    Es una manera de "centrar nuestra atencin en unas determinadas relaciones" dentro de la infinidad de relaciones posibles que hay (de cadenas de smbolos del Lenguaje Formal de la Teora de Conjuntos).

    Evidentemente este proceso de "definir=centrar nuestra atencin en un determinado conjunto de relaciones y para ello le ponemos un nombre" no ocurre porque un to estaba aburrido un da y dice: "eah, voy a definir Espacio Topolgico as: un par donde es un conjunto no vaco, y es un subconjunto de que cumple:

    1) , y
    2) si entonces
    3) si entonces "

    NO. No ocurre as.

    Lo que ocurre en realidad es que trabajando en distintas reas de la matemtica, a veces se dan las mismas relaciones una y otra vez entre entes totalmente distintos, y uno acaba hasta las narices de demostrar "teoremas anlogos" en distintas reas, hasta que se decide "tomar aquello que comparten todos esos entes distintos" y decir que "ello" es una nueva estructura y le ponemos un nombrecito. A partir de ese momento se investiga que teoremas se cumplen en esa estructura "general" y entonces esos teoremas, "traducidos a cada caso particular" se cumplirn en cada ejemplo de dicha estructura.

    Por eso en matemticas se van definiendo estructuras cada vez ms generales. Es una manera muy potente de demostrar cosas que valen para una infinidad de casos particulares.

    Otra cuestin que influye a la hora de "a qu estructuras matemticas (relaciones entre objetos matemticos) decidimos prestarle atencin y ponerles un nombrecito" es, como he dicho, cuando tratamos de "capturar" algo de un fenmeno fsico real.

    Pero sea lo que sea lo que haga que decidamos centrar nuestra atencin en una determinada cadena de smbolos del Lenguaje Formal de la Teora de Conjuntos ( que bsicamente significan relaciones entre objetos matemticos) y acabemos poniendole un "nombrecito", al final no deja de ser una cadena de smbolos que "expresan" unas relaciones entre objetos matemticos.
    por qu te cambiaste a Matemticas? Porque la primera vez que vi una demostracin matemtica...me cautiv.

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