Descomposición de velocidad

[konig]

Hola buenos días, ayer seguí pensando sobre el tema de la velocidad en el CIR, porqué era nula y esas cosas, y empecé a darme cuenta de que no entiendo porqué existen dos "tipos" de velocidad, es decir, de rotación y traslación (o tangencial). Al final llegué a la conclusión de que velocidad es todo aquello capaz de modificar la posición de un punto en un instante determinado. Es decir, aunque el movimiento circular no presenta ningúna "traslacion neta" al cabo de X periodos respecto a un origen, en el instante t1, sí está provocando que cambie su posición. Eso me llevó a pensar en la velocidad como un vector que apunta "hacia dónde va el cuerpo en ese momento". Primera pregunta: pero qué representa entonces el módulo?.

Por otra parte, y según en esta imagen que he hecho http://img145.imageshack.us/my.php?i...locidadva5.jpg, comprendo bien que si r1 es composicion de r0 y r, su derivada respecto al tiempo, esa igual a la de r0 y r. El problema es cuando se le ponen nombres y se les da un sentido físico a estos valores.
Igual que decimos que dr1/dt=v1, decimos dr0/dt=v0. Pero aunque yo entiendo que algún físico/matemático habrá conseguido relacionar dr/dt con w^r y v_relativa, no entiendo porqué se las llama, respectivamente, "velocidad debida a la rotación", ni "velocidad relativa", que aún entiendo menos (relativa respecto a qué?) y de quién?. Porque yo entiendo que el radio vector del punto o respecto a o1 cambie, y tenga velocidad, igual que el de p respecto a o. Pero r? r no es el radio vector de ningún punto respecto a o1, es decir, no tiene orígen en o1 sino en o. Qué pintan entonces los nombres "velocidad" que se le dan a su derivada? velocidad de qué? Lo siento pero esque no le veo más sentido que una pura derivación que matemáticamente da el valor de la velocidad, no soy capaz de entender ese sentido que se le da.

[rory]

Hola,

Veo que has puesto varias dudas sobre la cinemática relativa. Lo mejor es que te leas y comprendas lo que es cada término , de dónde sale . Si no entiendes algo de ahí, pregunta!

http://www.heurema.com/DFQ/DFQ2-IMR/...RELATIVOw1.pdf

De lo que se trata es de relacionar dos sistemas de referencia.

un saludo

[konig]

Hola rory, desde ayer no pego ojo pensando en este tema, he leido con detenimiento el documento, y coincido con él en la explicación, pero me sigue fallando asimilar el término w^r. Pongo lo que he deducido de estos dos dias de intenso estudio, aunque creo que no ha servido de mucho, porque al final veo que no tiene sentido.

He partido deduciéndolo todo sin consultar nada.

Primer punto: velocidad instantánea(vector, función sólo de t), es aquello capaz de modificar la posición de un punto respecto al tiempo. Su dirección es hacia dónde se dirige en un instante determinado, y su módulo la cantidad de cambio de posición entre dos instantes consecutivos. Se llama instantánea porque se mide en un instante puntual concreto, y para ello se mide un pequeño fragmento de la variación del vector, dr(vec) alrededor de ese instante dt. Es decir, v(vec)=dr(vec)/dt. Si queremos saber r en cada instante, sólo tenemos que intregrar vdt.

Segundo punto: la velocidad total es la suma de las distintas velocidades aplicadas al punto.

Tercer punto: la aceleración instantanea, derivada de v o derivada segunda de r respecto de t, indica la tendencia de v de un punto a variar con el tiempo. Es decir, cómo cambia de dirección y sentido del ente (velocidad) que modifica la posición del punto. Conociéndolo sabremos cual es en el próximo instante la velocidad del punto p, y por tanto, hacia donde se dirigirá en el siguiente instante. Pensándolo así, cuanto más derivemos, hasta que hallemos una constante, más sabemos de los sucesivos dt no? Si sé la aceleración en un punto, en el siguiente dt sabré la velocidad, y por tanto cómo va a cambiar la posición,
y si además se la sobreaceleración (da/dt), también sabré la aceleración para poder predecir la velocidad en el siguiente dt. Y así, suponiendo que haya derivado respecto a una función r fiable, podría sacar una función derivada n-esima r(t) que a traves de sucesivas integrales me diese cualquier dato cinemático de p, como su velocidad, aceleración, sobreaceleración... Esto no lo he visto en ningún libro, creeis que no vale la pena tener una ecuación que de todo esto en lugar de ir derivando para saber los datos en cada punto? O porqué razón no sale entonces?


Cuarto punto, y aquí es donde creo que me equivoco. Intentando pensar en la velocidad como una cosa única, definida en el punto uno, he pensado que no habría diferencia entre velocidades. Es decir, que las velocidades que llamamos de traslacion y de rotacion son lo mismo. Para ello pienso en un circulo que se mueve, y en él un cuepro que gira a su alrededor. Desde un referencial O que considero en reposo, veo alejarse al circulo y el cuerpo girar en él.

Pienso: pues bien, el sistema entero se está moviendo, luego el cuerpo tiene la velocidad de traslación del circulo. Pero si usasemos sólo esta velocidad para definir la posición en un instante después, fallaríamos, porque la posición se ve alterada por un segundo factor, otra velocidad, la que me trae problemas. Yo pienso, vale, tomémoslo como una velocidad más, y punto. Que luego nos interesa saber como va? calculamos su aceleración y vemos que tiene componetnte normal y por tanto es velocidad circular, punto. No nos interesa ahora si es circular o hiperbólica. Digo yo, aquí lo que importa es que en función de la velocidad total un cuepro toma una posición u otra en el siguiente instante, sin importarle ninguna descomposición de su velocidad. Luego en ese instante, v_total=v1_cuerpo+v2_cuepro. O sea, no distingo entre v1 traslación y v2 rotación. Supongo una traslación recta, de un sitio a otro. v1 es dada, y v2 pues me cojo un referencial inercial con el circulo, y calculo dr(al cuerpo que gira)/dt=v2. Y sin omega erres ni nada he sabido calcular v_total. Luego eso me lleva a pensar, w^r es un modelo, similar a lo que hacemos con peso y centro de gravedad, para poder calcular facilmente v en un punto que gira(obviamente a través de una demostración matemática de que dr/dt=w^r). Eso me lleva a pensar que toda esa "parafernalia" de "momentos", ya que las dimensiones de w^r equivalen a velocidad, son modelos de calcular lo que sabíamos con los simples dr/dt. CASTAÑAZO, me doy cuenta que momento de fuerza tiene dimensiones de energía, no de fuerza, y no soy capaz de imaginarme un momento como una forma "alternativa" de calcular una energía, ni de una magnitud masa/segundo^2 que multiplicada por distancia de dimensiones de fuerza, así que me doy cuenta de que w^r no puedo considerarla como una velocidad de traslación (siempre instantaneamente hablando) más, con la simple particularidad de que si calculo su aceleración me va a dar normal. Llego así a pensar que la velocidad de giro tiene más miga que una simple velocidad de traslación, porque no se ha hecho lo mismo con otras magnitudes como la fuerza. O eso o igual que ocurre con velocidad angular, que es vector porque asignamos al ángulo un vector, le asignamos a la masa un vector y ya tenemos Q vector, tal que F=Q^r.

Sé que puede sonar totalmente descabellado, pero esque te vas a cualquier definición de velocidad y ya de por sí te la dan como velocidad de traslación y de rotación, cada una con su fórmula como si fuesen distintas y yo las veo como un "todo", que unido da la velocidad total y por tanto la posición del punto en el siguiente instante.

[rory]

Lo primero de todo, que esto está comprobado que es así, y que se cumplen las relaciones de las velocidades entre dos sistemas de referencia, está comprobado físicamente y sin física.

Si queremos saber r en cada instante, sólo tenemos que intregrar vdt.

Pero ese "sólo" lleva implícitas muchas cosas.

Cuando mides una velocidad, lo estás haciendo respecto a algo, si tu te mueves la velocidad ya no sería la misma.

La velocidad es , no operes en módulo, porque la velocidad es un vector.

Si tienes dos sistemas de referencia, uno S y otro S', al derivar respecto al tiempo un vector de un sistema de referencia, respecto al otro, y , los vectores unitarios de la base no son constantes con el tiempo.

Así que al derivar, tienes que aplicar la regla del producto y derivar los vectores unitarios, que no son constantes con el tiempo . Si no lo haces, esa derivada no está bien hecha, porque consideras constante algo que no lo es.

De lo que se trata es de relacionar dos sistemas de referencia, lo que ven dos observadores en ellos.

El problema viene, porque al derivar,no son constantes los vectores unitarios:


¿Del documento que te he dado, qué no entiendes? ¿Qué deducción no comprendes? es que está todo ahí, no quiero repetir lo mismo :oops:

[konig]

Hola rory, ya he descansado un poco y he visto tu mensajes. Mmm... lo siento mucho pero algunas cosas que dices no entiendo a qué van referidas, podrías aclararmelo un poco? Gracias. Bueno antes que nada me gustaría dejar claro que se me olvidó lo de los vectores(yo siempre hablo vectorialmente desde que entre en la universidad, y no me di cuenta que se puede confundir, me leeré un manual de latex a ver si puedo ponerlo bien). Respecto a los vectores unitarios que no son constantes, tampoco lo entiendo :(, yo supongo que son dos sistemas de ejes paralelos, y se desplazan inercialmente, no entiendo porqué los vectores unitarios cambian con el tiempo.

Y del documento, ya te digo que lo entiendo todo, no viene de ahí el problema. Podría hacer cualquier problema de mi nivel de dinámica del sólido rigidido de y movimiento relativo en el examen, y sacar un 10 en esa parte, pero seguiría sin entender el cuarto punto. Bueno, sí hay una cosa que no entiendo, es que dice que es velocidad de arrastre porque los ejes rotan respecto al referencial fijo. Yo pinto los ejes fijos, y lo que rota es el cuerpo respecto al eje de rotación instantanea que pasa por su cdm, luego lo considero parte del movimiento relativo, no de arrastre. Los tres primeros creo que estás de acuerdo que son correctos. Sólo está la duda esa que pongo al final del segundo respecto a derivadas sucesivas, porque creo que seria util y queria saber vuestra opinion.

El problema está en el último punto (vease el Cuarto Punto), no me hago a la idea de que la velocidad que llamamos de rotación tenga que ser especial y calculada con sus reglas en lugar de una velocidad más, ni que digamos "el cuerpo tiene velocidad porque gira", anda ya!, el cuerpo gira porque tiene velocidad, de rotación, porque respecto a un eje o punto fijo alguien ha aplicado una velocidad, y el punto fijo se ha encargado de reaccionar provocando una aceleración normal, por eso gira y no se traslada, nada más. Y basta calcular esa derivada de la velocidad para darse cuenta.

[rory]

Konig, deberías intentar comprender el documento que antes te puse, no quieras empezar por el final.


El observador ligado a S, expresará sus medidas con vectores en el sistema cartesiano de referencia y el observador ligado a S' expresará sus medidas respecto a

Se trata de relacionarlos, al hacer eso, con vectores, nos encontramos con este problema , no tan trivial:

Que existiendo dos observadores, que observan una partícula, uno ligado a S y otro a S', el de S expresa la posición de esa partícula como y el de S' como , lo que ocurre, es que supongamos que el observador S' se está moviendo también.

Entonces, al derivar respecto de S el radiovector de S', nos encontramos con que: :

Por eso:

Respecto a los vectores unitarios que no son constantes, tampoco lo entiendo

Si los vectores unitarios cambian de dirección (sólo ocurre si giras el triedro) , al derivarlos respecto al sistema en donde varían la dirección .

El valor de esa derivada de los vectores unitarios, se llega a que es , donde omega es la velocidad angular del eje cartesiano S'. Esta deducción la tienes en casi cualquier libro de física. Te recomiendo el ANALISIS VECTORIAL - SPIEGEL, MURRAY. O en general busca por google derivada de un vector respecto de ejes móviles

Lo que nos lleva a que




Esta es la derivada del vector posición de S' expresado en el sistema S.


Pero esto, así tal cual, no nos sirve de mucho, entonces, lo que se hace es relacionar vectores posición de dos sistemas de referencia, para que teniendo uno, podamos conocer el otro, y así, usemos la cinemática relativa:


Si tenemos el sistema S y uno que se mueve respecto a él, que llamamos S', y además, una partícula, cada sistema de referencia tendrá un vector posición de esa partícula.

Podemos relacionarlos como:





Consideraciones:

yo supongo que son dos sistemas de ejes paralelos, y se desplazan inercialmente, no entiendo porqué los vectores unitarios cambian con el tiempo

En este caso, sólo hay movimiento de traslación de ejes. Entonces, al no haber rotación de éstos:




Porque efectivamente, los ejes no rotan y no varían con el tiempo, porque son vectores libres unitarios.

Bueno, sí hay una cosa que no entiendo, es que dice que es velocidad de arrastre porque los ejes rotan respecto al referencial fijo

Como ahora sí supones que los ejes rotan, o sea, S' está girando respecto de S, pues tenemos que:




Tienes S y S', uno se mueve respecto del otro, suponemos que es S' , pues si rota, ese es el movimiento que hace: rotar, los unitarios de la base dejan de ser constantes respecto a S y aparece la omega.

Yo pinto los ejes fijos, y lo que rota es el cuerpo respecto al eje de rotación instantanea que pasa por su cdm, luego lo considero parte del movimiento relativo, no de arrastre. Los tres primeros creo que estás de acuerdo que son correctos. Sólo está la duda esa que pongo al final del segundo respecto a derivadas sucesivas, porque creo que seria util y queria saber vuestra opinion.

Tienes que pintar DOS uno fijo S y uno S' (si esa es la situación que quieres describir) QUE SE MUEVE, respecto al S.

no me hago a la idea de que la velocidad que llamamos de rotación tenga que ser especial y calculada con sus reglas en lugar de una velocidad más,

No es especial, omega es la velocidad de rotación de los ejes que se mueven respecto a unos fijos. Es la velocidad angular, omega, que por definición es:

No tiene ninguna regla en especial, es : la velocidad de rotación del sistema cartesiano de referencia.

el cuerpo tiene velocidad porque gira", anda ya!, el cuerpo gira porque tiene velocidad, de rotación

Ejemplo:

Un observador S , ve moverse a una partícula en un movimiento circular uniforme, con velocida angular constante. Se toma un sistema de referencia S' fijado en la partícula.

Respecto de S, sí tiene velocidad.

Respecto de S' NO tiene velocidad , está estático.

Cuarto punto, y aquí es donde creo que me equivoco. Intentando pensar en la velocidad como una cosa única, definida en el punto uno, he pensado que no habría diferencia entre velocidades. Es decir, que las velocidades que llamamos de traslacion y de rotacion son lo mismo. Para ello pienso en un circulo que se mueve, y en él un cuepro que gira a su alrededor. Desde un referencial O que considero en reposo, veo alejarse al circulo y el cuerpo girar en él.

Y el cuarto punto, famoso,

La velocidad con que el punto O' se aleja de O es . Es una velocidad que se refiere a la velocidad del punto O' respecto al sistema de referencia O.

Si el sistema de referencia S' GIRA, ROTA, pues aparece la omega.

Si el sistema S', se aleja de S y además rota o gira, pues tienes traslación y rotación.


¿Que son lo mismo? no. Se ve que no. No tienen nada que ver, incluso puede existir una y no otra (puede desplazarse S' sin girar o girar sin desplazarse )

Ejemplo:

Estás sentado, viendo un disco de vinilo antiguo girando. Tomas (porque quieres) el sistema de referencia fijado en el disco que se está moviendo.

No hay traslación pero sí rotación


Ahora, estás sentado, pero el tocadiscos, está en una mesa móvil que se desliza por la habitación.

Hay traslación (la velocidad con que se aleja el carrito) y hay rotación de los ejes, porque el disco sigue girando, tiene velocidad angular.


Espero que con la matada que me he dado , te haya quedado claro, no puedo explicarlo mejor te lo juro :oops:

[konig]

Hola rory, sé que te has esforzado mucho y te lo agradezco en todavía en mayor medida. Este repaso desde cero, me ha ayudado a consolidar lo que sé sobre el movimiento. Tomando como origen el referencial S{O,x,y,z} fijo, y el móvil (solidario al cuerpo, traslada y rota) S'{O',x',y',z'}, y un punto perteneciente a este último. Tengo que


Donde:



Donde interpretando términos, es la velocidad de P respecto al referencial fijo, es la velocidad de traslación del referencial móvil respecto al fijo, es ( lo que a mí no me queda claro) la velocidad de ARRASTRE del referencial móvil respecto al fijo, pero entonces porqué no multiplicamos , que es la distancia entre el punto donde actúa la velocidad angular(O') y el punto desde el que se observa(O)? y es la velocidad relativa de traslación de P respecto al referencial móvil. (Puede ser que haya traslación de P respecto al móvil?).

En todo caso, ya he buscado en todos mis libros y en google y lo que en mi libro llama "formulas de Poisson", que explican que derivada de versores giratorios respecto al tiempo es velocidad angular no aparece. Permiteme decir, que creo que la velocidad de giro es al fin y al cabo, velocidad, igual que lo es la de traslación, sólo que se ha probado con esas fórmulas su equivalencia a y por eso la calculamos así. Estás de acuerdo?

[rory]

Puede ser que haya traslación de P respecto al móvil?

Pero es que antes te puse que con la traslación nos estamos refiriendo al triedro y no a la partícula que se observa desde el triedro fijo, y desde el móvil. Son cosas diferentes.

Claro que se puede, ejemplo:

Un observador que "consideramos" estático mide la velocidad de una niña corriendo, otro observador montado en una noria con velocidad angular, ve también a la niña moverse con otra velocidad

S es el "estático"
S' es la noria (que se mueve, está rotando)
La niña es la partícula (que se mueve)

, pero entonces porqué no multiplicamos OO' por omega

Porque el vector está expresado o medido en el triedro que consideramos fijo y como esa base no varía con el tiempo , su derivada respecto del tiempo es nula. No puedes aplicar a la derivada del vector las fórmulas de Poisson.

S es el "estático"
S' es la noria
La niña es la partícula.

O está fijo en los pies del observador en S.
O' está fijo en la noria, porque la noria no tiene traslación, sí rotación pero NO traslación. No se mueve de lugar, está cementada en el mismo lugar.

[konig]

Ya me he enfrentado de lleno con el latex, y salvo los misteriosos <strong> todo ha ido bien. Iba a decir que la velocidad que digo de P respecto al O' móvil puede ser por traslación o rotación. Pero lo que yo digo es que, dado que un sólido rígido es indeformable, todos sus puntos tienen la misma velocidad de traslación. Y por tanto, P no se debería mover traslacionalmente respecto de O'. Sin embargo, como la rotación depende de la distancia al eje, sí creo que puede haber una componente de rotación .

Respecto a lo de multiplicar , me lleva a pensar en que, está claro que aunque los ejes giren, lo que es la velocidad del punto respecto de O, que es lo que medimos con , es simplemente de traslación, pues no gira alrededor de O. Pero entonces, qué representa , porque si es el giro de P respecto de , ésto ya se considera movimiento relativo del punto en su referencial móvil, y forma parte del término y no de un referencial respecto a otro.

Por cierto, para ver la velocidad de traslación y rotación, me ha ayudado este applet que linkeo http://teleformacion.edu.aytolacorun.../mov_rodar.htm