Continuidad funcion

**pepetiros** · 29/01/2005 12:13

Muy Buenas, como podría discutir la continuidad en el punto $(0,0)$ de la funición $f:\mathbb {R}^2 \rightarrow \mathbb {R}$ dada por:

$\left\{ \begin{array}{cc} f(x,y) = \frac {x^2y^2}{x^2y^2+(x-2y)^2} \text { si } (x,y) \not= (0,0) \\ \\ f(0,0) = 0 \end{array}$

Muchas gracias por vuestra colaboración.

**MiGUi** · 29/01/2005 12:36

Una función es continua en un punto si el límite doble existe.

**pepetiros** · 29/01/2005 12:59

Pero en este caso como realizo el límite, si me da una indeterminación y no se como resolverlo en este caso de limites en varias variables.

**Myrdin** · 29/01/2005 16:32

Para ver si existe límite cuando te acercas al (0,0) tientes que comprobar que independientemente de la dirección por la que te vayas acercando al origen, el límite no varía.

Una forma de comprobar esto es suponer que te acercas al origen siguiendo una recta que pase por el mismo, de la forma $y=\alpha x$ , donde $\alpha$ es un parámetro que puede tomar valores entre $-\infty$ y $+\infty$
De esta forma barres todo el plano x,y

Si en tu expresión haces $y=\alpha x$ y calculas el límite cuando x tiende a cero, podrán ocurrir dos cosas:

1) el resultado depende de $\alpha$ :

en este caso lo que sucede es que en función de la forma de por donde nos aproximemos al origen el valor del límite cambia, por lo que no existiría el límite

2) el resultado no depende de $\alpha$ :

en ese caso el valor del límite es independiente de la dirección de aproximación al origen, por lo que existe el límite.

En el ejemplo que tu propones, estamos en este segundo caso, y el límite es cero

**pepetiros** · 30/01/2005 10:55

Y por lo que tu me dices, al existir el límite en el punto 0,0 esto significa que la función es continua en el punto 0,0 ¿o me equivoco?

Muchas gracias por tu ayuda

**Sidious** · 30/01/2005 12:28

Iniciado por pepetiros

Y por lo que tu me dices, al existir el límite en el punto 0,0 esto significa que la función es continua en el punto 0,0 ¿o me equivoco?

Muchas gracias por tu ayuda

Debe existir límite (y parece que así es) y además:

lím(x,y->0,0) f(x,y) = f(0,0)

Cosa que también se cumple (según se ha calculado).

**Myrdin** · 31/01/2005 21:45

oooops! :oops:

En efecto, se me habia olvidado la conclusión:

Como existe limite y ese limite es igual al valor de la funcion en el punto, la funcion es continua

Tema: Continuidad funcion

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