Warning: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in ..../includes/class_bbcode.php on line 2958
Si no es un campo vectorial... ¿qué es? - Página 3
Página 3 de 4 PrimerPrimer 1234 ÚltimoÚltimo
Resultados 21 al 30 de 38

Tema: Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

  1. #21
    Super Moderator
    Fecha de ingreso
    29 mar, 06
    Mensajes
    4,033
    Agradecimientos

    Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

    Yo lo que he entendido de lo que ha puesto Smaigol es que "invariante" es una ecuación.

    Yo a eso lo llamo símplemente "una ecuación tensorial", es decir, una ecuación que relaciona tensores mediante operaciones típicas de los tensores.

    Parece (por lo que me decís) que en algunos libros se escriben "ecuaciones" (relaciones) entre las expresiones locales de determinadas "magnitudes" y si "la forma" de dicha relación permanece "invariante" tras un cambio de cartas (cambio de coordenadas locales), entonces parece que llaman a eso "que la ecuación es covariante".

    Si es así, lo único que significa es que "ecuación covariante" es lo que matemáticamente se llama "ecuación tensorial".

    Aunque puede ser que todavía no me esté enterando de lo que estáis hablando.

    EDIT: por cierto, que para que "ecuación covariante" sea lo mismo que lo que en matemáticas se llama "ecuación tensorial", tendría que ser "transformarse adecuadamente" bajo CUALQUIER cambio de coordenadas.

    Lo digo porque en Relatividad Especial, lo que se usan son las "transformaciones de Lorentz" que son sólo un subconjunto de cartas muy especiales (son isometrías lineales). Si una "ecuación" se "transforma correctamente" bajo transformaciones de Lorentz, ello no implica que sea una ecuación tensorial.

    EDIT2: ya por curiosidad, he mirado un libro que hay por ahí de Relatividad Especial y General para físicos ("Geometry of Spacetime") y casi me da un patatús.

    Ya había ojeado (hace unos meses) los primeros 4 capítulos de dicho libro (que corresponden a la parte de Relatividad Especial) y me pareció "interesante" en el sentido de que como yo sé bien la matemática rigurosa que hay "debajo", me limitaba a ver cómo en dicho libro "se buscaba una motivación física para dicha matemática".

    Pero ahora he ojeado los últimos capítulos, los que corresponden a Relatividad General, y......es de locos. Define "Tensores" (literalmente) como "cantidades con super-índices y sub-índices que se transforman de determinados modos" (pero qué cojones de definición es esa?) y se lía a hacer "demostraciones" con las que rellena hojas y hojas de horribles expresiones con super-índices y sub-índices.......

    Pero qué cojones ni que pollas!!!! Es infinitamente más fácil como hacen los libros de matemáticas. Se puede hacer todo "coordinate-free" (sin utilizar coordenadas) y es mucho más fácil, claro, elegante y breve.

    Igual es la costumbre, pero yo sería incapaz de meterme en esos "bosques" de super-índices y sub-índices sabiendo que se puede hacer de un modo infinitamente más sencillo.
    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

  2. #22
    Senior Member Avatar de gdl
    Fecha de ingreso
    03 oct, 06
    Mensajes
    883
    Agradecimientos

    Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

    Por lo que yo he podido leer, hay tres tipos de notaciones para vectores, tensores, etc. (Esto está en los apuntes de Brennon y tienden a explicarlo mejor los libros de resistencia de materiales que los de gravitación)

    Notación directa.




    Notación básica (o desarrollada en la base)




    Notación indexada




    Las dos primeras son invariantes porque hacen referencia al vector directamente. Si se cambia de coordenadas siguen siendo iguales (invariantes). La tercera no es invariante porque si hacemos un cambio de coordenadas hay que modificar la expresión (la típica transformación contravariante).

    Es por tanto lógico pensar que estamos tratando con objetos distintos (sean expresiones, sean familias de campos) y es natural que le demos unos nombres. Lo que no he encontrado por ningún lado son esos nombres.

    Por mi parte tiendo a pensar que esta ecuación



    Es muy distinta de esta otra



    Ya que una compara los vectores y otra compara los componentes de los vectores (y de hecho no es una ecuación, son varias). Por esta razón creo que (un campo escalar por cada sistema de coordenadas) no es del mismo tipo que que no depende de esas coordenadas.

    PD: Creo que la conversación está siendo muy interesante porque estamos barriendo esquinas oscuras que muchos libros no cubren.

    PPD: Olvídate de Lorentz, mis objetivos son la geometría diferencial primero y la gravitación después. Una de las cosas que más me fastidian de los libros de gravitación es que dan muchas cosas por supuesto que luego cuando tiras de los de matemáticas te las desmontan.

  3. #23
    Administrator
    Fecha de ingreso
    30 mar, 05
    Mensajes
    6,078
    Agradecimientos

    Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

    gdl, seccion 2.4 del Wald (the abstract index notation). Cuando se utiliza lo que tu llamas notacion indexada se esta usando la abstract index notation, y las ecuaciones son tensoriales, no son relaciones entre las componentes de los tensores en cierta base. Leelo con cuidado y lo veras mas claro.

    La misma recomendacion va para mat, para que vea como esas ecuaciones con tantos indices no son componentes en una base sino que son ecuaciones tensoriales.

    EDIT: por cierto, que para que "ecuación covariante" sea lo mismo que lo que en matemáticas se llama "ecuación tensorial", tendría que ser "transformarse adecuadamente" bajo CUALQUIER cambio de coordenadas.
    Si, si, claro.

    Cuando se desarrollo la RG los fisicos no estudiaban geometria diferencial, como consecuencia las primeras formulaciones eran bastante asquerosas para los estandares actuales, de hecho, lo ultimo que recomendaria es que alguien estudiase las matematicas de la RG de las explicaciones de Einstein. Tambien es posible que la presentacion matematica de la geo. diferencial en la epoca tampoco fuese coordinate free (que esta fuese algo posterior).

    En cualquier caso, los tiempos cambian y la presentacion moderna es sin coordenadas y la puedes encontrar en el Wald y veras como define como esta mandao' los tensores y como las ecuaciones que escribe son tensoriales (incluso cuando tienen muchos indices).

    "Get out of my way, or I'll pee right through ya!"   Richard Feynman

  4. #24
    Senior Member Avatar de gdl
    Fecha de ingreso
    03 oct, 06
    Mensajes
    883
    Agradecimientos

    Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

    Recuerdo haber leído lo de la notación de índices abstractos en los apuntes de Moretti... no recuerdo nada de eso en el Wald. Lo releeré y os comento.

  5. #25
    Super Moderator
    Fecha de ingreso
    29 mar, 06
    Mensajes
    4,033
    Agradecimientos

    Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

    Voy a dar la definición de Tensor y Campo Tensorial para aquellos que aún no la hayan visto, para que vean que no es nada "misterioso".

    Sea un anillo unitario y conmutativo (se puede generalizar aún más, pero bueno). Sea un -módulo (módulo sobre un anillo es exactamente lo mismo que espacio vectorial sobre un cuerpo, pero en vez de un cuerpo es sobre un anillo, es decir, un espacio vectorial es un caso particular de módulo, es cuando el anillo es un cuerpo).

    Al conjunto de las aplicaciones -lineales de en se lo denota por y se le llama el módulo dual de .

    Un Tensor de tipo sobre un -módulo es una aplicación -lineal de ...(r veces)......(s veces)... en .

    Sea ahora una variedad diferenciable. Como dije en mensajes anteriores, el conjunto con la correspondiente suma y producto tiene estructura de anillo unitario y conmutativo.

    Al conjunto de Campos Vectoriales Diferenciables sobre se lo denota por .

    Si , se puede demostrar que definido por es también un Campo Vectorial Diferenciable definido sobre , es decir, .

    Dado y se puede demostrar que definido por es un Campo Vectorial Diferenciable sobre , es decir, .

    Es fácil comprobar que el conjunto con esa suma y esa operación externa sobre el anillo , tiene una estructura de módulo.

    Pues bien, un Campo Tensorial Diferenciable sobre de tipo es símplemente un Tensor de tipo sobre el -módulo , es decir, una aplicación lineal de ...(r veces)......(s-veces)... en .

    Hay otra definición equivalente:

    Como mencioné en mensajes anteriores, para cada tenemos un espacio vectorial real (que es un -módulo, como todo espacio vectorial real ).

    Un Tensor de tipo sobre el módulo será una aplicación lineal de ...(r veces)......(s veces)... en

    Pues un Campo Tensorial Diferenciable de tipo sobre es una aplicación que a cada de le hace corresponder un Tensor de tipo sobre el módulo y además "de manera diferenciable".

    Claro, para definir rigurosamente eso de "de manera diferenciable" me tendría que meter en Fibrados Vectoriales y eso me llevaría un poco lejos.

    Símplemente diré que hay un determinado Fibrado Vectorial (donde es una determinada Variedad Diferenciable y es una determinada aplicación diferenciable), y eso de "de manera diferenciable" significa que si es nuestro Campo Tensorial diferenciable, entonces se verifica que es diferenciable y es la aplicación identidad (es decir, es una sección del fibrado ).

    Ambas definiciones son equivalentes.

    Así pues podéis pensar en un Campo Tensorial Diferenciable sobre como un Tensor sobre el módulo o también como una aplicación que a cada punto de le hace corresponder un Tensor sobre el módulo y "de manera diferenciable". Ambas cosas significan lo mismo.

    PD: joder, habláis tan bien del Wald que un día de estos tendré que echarle un vistazo :D

    PD2: ciertamente, en la época de Einstein la Geometría Diferencial no estaba ni remotamente tan desarrollada como ahora, es más, no sé cómo demonios se las arreglaban en esa época, lo cuál no es sino una muestra más de lo mucho que se lo curraron Einstein, Hilbert, Poincaré y compañía.

    PD3: el que esas dos definiciones que he dado de Campo Tensorial Diferenciable sean equivalentes no es "obvio", hay que demostrar una serie de cosas que no he escrito porque no tengo tiempo.
    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

  6. #26
    Senior Member
    Fecha de ingreso
    18 jun, 07
    Mensajes
    897
    Agradecimientos

    Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

    Cita Iniciado por mat
    (módulo sobre un anillo es exactamente lo mismo que espacio vectorial sobre un cuerpo, pero en vez de un cuerpo es sobre un anillo, es decir, un espacio vectorial es un caso particular de módulo, es cuando el anillo es un cuerpo).
    Cuidado, mat. Tú y yo sabemos lo que quieres decir exctamente, pero aquí hay gente que nunca ha visto (y tal vez nunca la vean) la definición de módulo sobre un anillo unitario. Permíteme puntualizar cómo ha e interpretarse esa afirmación: un módulo sobre un anillo unitario R es un grupo abeliano (M,+) con una operación externa ·:RxM --> M que verifica formalmente las mismas propiedades exigidas a una operación externa ·:KxV --> V de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. Es decir, si a y b son elementos de R y x e y lo son de M, entonces ha de ocurrir que a·(x+y)=a·x + a·y; que (a+b)·x=a·x + b·x; que a·(b·x)=(a·b)·x y que 1·x=x (donde 1 es el elemento unidad del anillo). TODAS LAS DEMÁS PROPIEDADES DE UN ESPACIO VECTORIAL PUEDEN NO CUMPLIRSE EN EL CASO DE MÓDULOS EN GENERAL, incluídas, entre otras, la existencia de bases, el hecho de que todas las bases tengan el mismo cardinal (y que gracias a ello se pueda definir el concept de dimensión), ni siquiera en el caso de módulos finítamente genrados, etc. El simple hecho de sustituir, en la definición, el cuerpo por un anillo unitario (incluso aun en el caso de que el anillo sea conmutativo) da lugar a situaciones tremendamente distintas al caso de los espacios vectoriales.
    "Aquél que hace una pregunta puede parecer tonto durante cinco minutos. Aquél que no la hace, lo es durante toda su vida" (proverbio chino).

  7. #27
    Super Moderator
    Fecha de ingreso
    29 mar, 06
    Mensajes
    4,033
    Agradecimientos

    Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

    Cierto, cierto, es que si me pongo a contar todas las "sutilezas" de cada concepto que trato.....me puedo tirar 3 años escribiendo.
    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

  8. #28
    Senior Member
    Fecha de ingreso
    18 jun, 07
    Mensajes
    897
    Agradecimientos

    Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

    Jajajaja. Desde luego. Pero para eso estamos aquí los "dedos lentos", para ir completando .
    "Aquél que hace una pregunta puede parecer tonto durante cinco minutos. Aquél que no la hace, lo es durante toda su vida" (proverbio chino).

  9. #29
    Senior Member Avatar de gdl
    Fecha de ingreso
    03 oct, 06
    Mensajes
    883
    Agradecimientos

    Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

    Cita Iniciado por mat
    Pues bien, un Campo Tensorial Diferenciable sobre de tipo es símplemente un Tensor de tipo sobre el -módulo , es decir, una aplicación lineal de ...(r veces)......(s-veces)... en .
    Esto está claro. Se ha repetido varias veces y estamos todos de acuerdo que la definición de campo tensorial (y por tanto vectorial o escalar) no involucra cartas y por tanto el campo va a ser siempre el mismo tomemos el sistema de coordenadas que tomemos. Por eso es útil.

    El problema es cuando tengo que trabajar con expresiones del tipo que hacen referencia a un componente de un campo vectorial y por tanto implícitamente dependen del sistema de coordenadas. El valor de cambia si cambio el sistema de coordenadas. Bien es cierto que para cada sistema de coordenadas representa un campo escalar de propio derecho y podría representarlo también en otras coordenadas... ¡pero entonces dejaría de ser un componente del campo vectorial original!

    Con esto quiero decir que la familia de campos escalares que representa y en la cual se destaca un campo escalar según el sistema de coordenadas elegido, es otro objeto que no es un campo y el objetivo de mi pregunta era averiguar cómo se llama a este tipo de objetos.


    Cita Iniciado por mat
    PD: joder, habláis tan bien del Wald que un día de estos tendré que echarle un vistazo :D
    Es un libro de gravitación moderno (del 84 si mal no recuerdo), pero sigue arrastrando muchas cosas del desarrollo original de los tiempos de Ricci y, como bien dices...


    Cita Iniciado por mat
    PD2: ciertamente, en la época de Einstein la Geometría Diferencial no estaba ni remotamente tan desarrollada como ahora, es más, no sé cómo demonios se las arreglaban en esa época, lo cuál no es sino una muestra más de lo mucho que se lo curraron Einstein, Hilbert, Poincaré y compañía.
    El problema del éxito de todos estos matemáticos es que hemos arrastrado, incluso hoy en día, muchas nomenclaturas y conceptos que ellos acuñaron. En aquellos tiempos los tensores eran como una generalización de las matrices. Por ejemplo, creo que si ellos hubieran tenido en mente las ideas de hoy, probablemente la derivada covariante se llamaría simplemente derivada.


    Cita Iniciado por mat
    PD3: el que esas dos definiciones que he dado de Campo Tensorial Diferenciable sean equivalentes no es "obvio", hay que demostrar una serie de cosas que no he escrito porque no tengo tiempo.
    No es necesario, mat. Mi pregunta no va por la definición formal de los campos. Más bien va por explorar las expresiones como las que he puesto arriba y buscarles un apoyo formal que no he encontrado en ningún libro más allá de "si cumple la ley de transformación de vectores es un vector". ¿Y si no? ¿Qué es?

  10. #30
    Senior Member Avatar de gdl
    Fecha de ingreso
    03 oct, 06
    Mensajes
    883
    Agradecimientos

    Si no es un campo vectorial... ¿qué es?

    Post largo. Lo siento.


    Cita Iniciado por n0mad
    gdl, seccion 2.4 del Wald (the abstract index notation). Cuando se utiliza lo que tu llamas notacion indexada se esta usando la abstract index notation, y las ecuaciones son tensoriales, no son relaciones entre las componentes de los tensores en cierta base. Leelo con cuidado y lo veras mas claro.
    Releí la sección 2.4 del Wald y sólo puedo llegar a la conclusión de que es una notación peligrosísima. Vamos. Diabólica.

    Voy a intentar explicarme.

    Según leo Wald, y si lo entiendo bien, dice que hay dos problemas con las notaciones no indexadas.

    1) Como tengas que hacer una contracción complicada, sin índices estás perdido.
    2) Existen muchas formas de notar un tensor y hace falta una potente que las englobe a todas.

    Eso es cierto y son las razones de que aún hoy en día se use la notación indexada. De hecho, leí en algún libro (no recuerdo cual lo cual es una pena porque me vendría de lujo la referencia ahora) que se había trabajado mucho en buscar una notación invariante para los tensores pero que no se había conseguido. Es decir, que la notación indexada hay que usarla sí o sí.

    Ahora bien. La notación indexada hace referencia a los componentes y según cuenta Wald es problemático trabajar con expresiones de componentes porque pueden ser sólo válidas en ciertas coordenadas.

    Así que introduce la notación de índices abstractos que que es un espejo (sic) de la notación indexada, pero que representa directamente a los tensores. De hecho, dice que es un tensor (3,2) no los componentes de un tensor (Página 24, segundo párrafo por abajo, línea 7).

    Si esto fuera así, cualquier operación que realicemos sobre la notación básica (ecuación 2.3.3 del Wald) y cualquier operación que realicemos sobre la notación de índices abstractos debería dar el mismo resultado ya que operamos directamente con el tensor y no con sus componentes. ¿Cierto?

    Hagamos la derivada parcial de un campo vectorial. En la notación de índices abstractos es simplemente esto.



    De hecho, Wald no desarrolla la derivada parcial en la ecuación (3.1.15) cuando introduce los Christoffel (y es notación de índices abstractos puesto que usa índices latinos). De manera que lo que he hecho arriba creo que está en principio bien.

    Sin embargo, si aplicamos la derivada parcial en la notación básica (ecuación 2.3.3 del Wald). Ojo que adapto la notación a la usada por Wald y son los vectores de la base local.





    Con lo que, obviamente, el resultado no es el mismo. Es decir, que la notación de índices abstractos no es equivalente a la notación básica. Por mucho que Wald diga que es un tensor (3,2), él mismo no lo trata como un tensor en (3.1.15). Lo trata como los componentes de un tensor.

    Releyendo con más cuidado el párrafo 2 de la página 25, podemos interpretar que Wald confiesa que la notación de índices abstractos es la notación de índices de componentes. Dice, literalmente.

    Thus, the distinction between the index notation and the component notation is
    much more one of spirit (i.e., how one thinks of the quantities appearing) than of
    substance (i.e., the physical form the equations take).
    Personalmente y por las razones que he dado, interpreto que la distinción que hay que hacer es mental y no notacional. Seguimos trabajando con componentes, pero sin especificar la base. Eso no significa que no esté ahí, símplemente no sabemos qué base es.

    Estas sutilezas.... Hay que saber muy bien qué se está haciendo si se usa la notación de índices abstractos. Por eso digo que es diabólica.

    Ahora bien, ¿por qué permite Wald usar esta notación que conduce a resultados distintos a los de las notaciones invariantes? Después de explorar detenidamente esa parte del Wald, creo que la pista la da la siguiente frase del último párrafo de la página 24.

    Using the index notation, one only can write down true tensor equations, since no
    basis has been introduced.
    Wald expresa en esta frase la ventaja que no especificar una base otorga, pero yo también veo que ha puesto explícitamente "equations" y no "expressions". ¿Por qué ecuaciones? Mi razonamiento es que está relacionado, de nuevo, con los objetos que no son invariantes como las expresiones de los componentes o los vectores de la base.

    Si tengo una ecuación en notación indexada,



    y hago un cambio de coordenadas me aparece una transformación.



    Pero como los cambios de coordenadas son difeomorfismos, han de tener inversa ellos, sus aplicaciones diferenciales y cualquier transformación lineal no degenerada basada en los mismos. Por tanto, podría usar la regla de Leibniz de la igualdad para hacer lo siguiente.



    Y llegar de vuelta a



    Con lo que la ecuación parece invariante, pero no lo es. Símplemente, tiene las mismas transformaciones invertibles a ambos lados. Adicionalmente, las transformaciones que aparecen son generalmente lineales y dan cierto juego.

    Todo esto permitiría usar la notación de índices abstractos como si fuera realmente independiente de las coordenadas y representara directamente al tensor.... Pero no es una notación de la misma "calidad" que la básica y realmente es un disfraz de la notación indexada de componentes.


    De nuevo, todo esto es el influjo de los matemáticos de la época de Hilbert. Los libros de gravitación son "antiguos" en ese sentido. Los libros de mecánica continua tienden a usar notaciones más modernas.


    PD: Nos estamos yendo por las ramas. Mi pregunta original no es si la notación tal o cual es guay o no guay. Mi pregunta es si hay algún nombre para las expresiones matemáticas como que representan campos vectoriales distintos con distintas coordenadas.

Temas similares

  1. Analisis vectorial
    Por Voyager One en el foro Matemáticas
    Respuestas: 2
    Último mensaje: 15/05/2011, 21:08
  2. Respuestas: 2
    Último mensaje: 17/06/2009, 03:50
  3. Campo vectorial de velocidades
    Por innumerable en el foro Matemáticas
    Respuestas: 3
    Último mensaje: 23/08/2007, 18:19
  4. Expresión vectorial
    Por Quanto en el foro Matemáticas
    Respuestas: 10
    Último mensaje: 28/01/2007, 13:00
  5. Producto vectorial
    Por mifkop en el foro Matemáticas
    Respuestas: 16
    Último mensaje: 16/10/2005, 22:11

Etiquetas para este tema

Permisos de publicación

  • No puedes crear nuevos temas
  • No puedes responder temas
  • No puedes subir archivos adjuntos
  • No puedes editar tus mensajes
  •