Límite como aproximación o como valor preciso?

[Nash]

Hola.

Bueno me ha surgido este fin de semana una duda en cuanto a la definición de límite de una función .

La deficinión general dice:



lo cual gráficamente sería:



Ahora, tiende a y es un valor aproximado a ella, por ende sería un valor aproximado a donde la relación de proximidad (me disculpo si proximidad no es el término correcto) de con es la misma relación de proximidad de con.

Bien, mi duda es por que si es un valor muy cercano a , al evaluar el límite se asegura que es justo y no un valor aproximado a (hablo puntualmente de la ecuación).

Es decir, ¿lo correcto no sería esto?:




Les agradezco sus opiniones.

Saludes

[gdl]

Quizás te pueda ayudar el pequeño matiz de que x no es muy cercano a p. ¡Es todo lo cercano que se quiera! (Pero sin llegar a coincidir).

Con esta imposición (y algunas propiedades más de la topología usual en los reales) se demuestra que el límite, si existe, es único (y exacto).

[Nexus 7]

Es decir, ¿lo correcto no sería esto?:




Les agradezco sus opiniones.

Hay que tener en cuenta que se define como el valor de ese límite (un número real se define como el valor que resuelve un límite convergente). Por lo que, por definición de , lo correcto es


Es cierto que si nos fijamos en valores de x tales que entonces no es sino un valor aproximado a Pero no hay que verlo mirando las partes, hay que verlo mirando la totalidad. Y cuando lo miramos en su totalidad vemos que es el único valor que cumple las condiciones de ese límite.


Saludos.

[greengrass]

Por ser un poco más precisos, todo lo anterior es cierto sólo si f(x) es contínua en p, como en el caso de la gráfica que ilustra la cuestión incial. No en otro caso.

[Tebau]

Sea la función dada de la sigueinte manera:

cuando ,
.

El , pero sin embargo f(2)=7.

El razonamiento que haces lo haces sobre el dibujo de una función que es continua, lo que te induce a pensar que ocurrirá con todas las funciones. Pero sólo te valdrá para las funciones continuas (para las funciones continuas en un punto y cuando calculas el límite en ese punto). Pero en una función no continua, como la que te he puesto, el razonamiento falla.