Duda de Radiación del cuerpo negro

**grufey** · 11/11/2007 22:44

Hola:

Empecé a estudiar cuántica y nada más empezar me he encontrado con los siguientes problemas

La duda es la siguiente:

La radiacion del cuerpo negro [Por unidad de superficie] es función de la temperatura y la frecuencia, la radiación total radiada es:

$R(T)=\int_0 ^{\inf} R(T,\nu)d\nu$

Se puede relacionar con la densidad de radiación $\rho(T,\nu)$ de la siguietne manera:

$R(T,\nu)=\int_0 ^{\pi} d\theta \int _0 ^{2\pi} \frac {\rho \cdot cos{\theta} \cdot c \cdot sen{\theta} \cdot d\phi}{4\pi}=\frac {c \cdot \rho}{4}$

Aquí la primera duda: ¿Cómo?. La única idea que tengo de esto es que hay una transformación de coordenadas a cilindricas y de ahí el $sen{\theta}$ que es el jacobiano de la transformación.

Además creo que no entiendo la aplicación real a esto:
{
Un objeto1 esférico de radio unidad en m radia como un cuerpo negro a una temperatura 4000 K.

A una distancia 100 m se encuentra otro objeto2 de radio $10^-9$ m.

Teniendo en cuenta que el cuerpo 2 absorbe luz de la estrella, y también radia como un cuerpo negro... ¿Cuál seria la temperatura de equilibrio?
}

Se me ocurre calcular primero la energía que irradia el cuerpo 1 a dicha temperatura, y creo que, en el equilibrio, ambos cuerpos emitirán lo mismo, pero no sé qué plantear exactamente.

Para ello, uso la fórmula:
$R(T,\nu)={{2\cdot\pi \cdot h \cdot \nu ^3 } \over {c^2 }}\cdot{1 \over {\exp \left( {h\cdot\nu /(k_B \cdot T)} \right) - 1}}$

O bien:

$R(T,\nu)=\sigma \cdot T^4$

Otra duda es.. ¿Cómo tengo en cuenta la distancia entre ambos cuerpos..?

Gracias de antemano.

**Luisfer** · 11/11/2007 23:36

Yo te ayudo un poco con el problema, que lo primero me da un poco de pereza.

Si no he entendido mal, tu función R es por unidad de superficie, por lo que, para ver cuánta radiación por unidad de superficie le llega al cuerpo 2 deberías primero multiplicar R por la supericie del cuerpo uno y luego dividirlo entre la superficie de la esfera imaginaria con centro en el cuerpo 1 y con radio igual a la distancia entre los dos cuerpos. Lo que no se muy bien es para qué te dan el radio del cuerpo 2.

En el equilibrio la radiación que le llega al cuerpo 2 por unidad de superficie será igual a la que emite. Es decir, $R_2(T,\nu)=\sigma \cdot T^4=R_{1efectiva}(T,\nu)$ . Como sabes $R_{1efectiva}(T,\nu)$ , despejas fácilmente la temperatura.

Bueno, ahí queda eso. Puede que me haya confundido.

**Luisfer** · 12/11/2007 00:16

Si por equilibrio se refiere al del sistema de los dos planetas, habría que imponer que la emisión neta sea la misma, es decir:

$\sigma T^4- \sigma T_0^4 \frac{r^2}{d^2}=\sigma T_0^4 - \sigma T^4 \frac{R^2}{d^2}$

De ahí:

$T_0^4=\frac{d^2+R^2}{d^2+r^2} T^4$

Pero eso solo es así si el cuerpo dos también irradia y si esto afecta al cuerpo 1, que no se si es el caso...

**Luisfer** · 12/11/2007 00:40

En cuanto a la integral...no se si es que es muy tarde, pero si integro no me sale el resultado que has puesto (?) (me sale 0)

**grufey** · 12/11/2007 01:14

Vale, muchas gracias Luisfer. Es como has dicho, me sobraban cosas en el problema pero ahora no ahora toda encaja.

Si por equilibrio se refiere al del sistema de los dos planetas, habría que imponer que la emisión neta sea la misma, es decir:

$\sigma T^4- \sigma T_0^4 \frac{r^2}{d^2}=\sigma T_0^4 - \sigma T^4 \frac{R^2}{d^2}$

De ahí:

$T_0^4=\frac{d^2+R^2}{d^2+r^2} T^4$

Pero eso solo es así si el cuerpo dos también irradia y si esto afecta al cuerpo 1, que no se si es el caso...

Es así, los dos cuerpos radian.

En cuanto a la integral...no se si es que es muy tarde, pero si integro no me sale el resultado que has puesto (?) (me sale 0)

Bueno no te preocupes bastante has hecho ya muchas gracias. A ver si mañana mirándolo con más calma lo saco

Gracias

**Luisfer** · 12/11/2007 01:21

Bueno no te preocupes bastante has hecho ya muchas gracias. A ver si mañana mirándolo con más calma lo saco
Gracias

Me refiero a que creo que has copiado mal la integral, porque la integral en la variable $\theta$ daría cero (si $\rho$ no depende de $(\theta, \phi ))$ , así que tiene que haber alguna errata por ahí.

**grufey** · 12/11/2007 01:45

Iniciado por Luisfer

Bueno no te preocupes bastante has hecho ya muchas gracias. A ver si mañana mirándolo con más calma lo saco
Gracias

Me refiero a que creo que has copiado mal la integral, porque la integral en la variable $\theta$ daría cero (si $\rho$ no depende de $(\theta, \phi ))$ , así que tiene que haber alguna errata por ahí.

Si supones $\rho$ constante la integral no da cero:

$<br /> R(T,\nu ) = \int_0^\pi {d\theta } \int_0^{2\pi } {d\varphi \frac{{c\rho \cos \theta }}{{4\pi }}\sin \theta } = \frac{{c\rho }}{{8\pi }}\int_0^\pi {d\theta } \int_0^{2\pi } {d\varphi \sin 2\theta } = \frac{{c\rho }}{4}\int_0^\pi {d\theta } \sin 2\theta = \frac{{c\rho }}{4}$

No obstante mi duda en este punto no es resolver la integral sino llegar a plantearla, resolverla aquí esta resulta, pero ¿Cómo se llega a ella?. No se si he entendido lo que me querias decir.

**darthyoda** · 12/11/2007 04:13

La integral sí que da cero, estás integrando $\sin 2\theta$ a lo largo de su periodo (de 0 a $\pi$ ), luego la parte positiva del seno se anula con la parte negativa.

**grufey** · 12/11/2007 13:02

Emm, sí perdon no se en qeu estaba pensando ayer, digamos que era tarde estaba cansado... jeje.Teníais razón es cero

**grufey** · 13/11/2007 22:55

Ya se por que da cero y no otra cosa, es que está mal(ya lo sabiamos, vale). Es integral entre 0 y $\pi/2$ , es decir:

$R(T,\nu)=\int_0 ^{\pi/2} d\theta \int _0 ^{2\pi} \frac {\rho \cdot cos{\theta} \cdot c \cdot sen{\theta} \cdot d\phi}{4\pi}=\frac {c \cdot \rho}{4}$

Ahora si que da el resultado correcto.

También te quería comentar, la resolución del problema otro razonamiento, que creo correcto, hoy no tengo tiempo mañana te lo pongo.

Gracias.

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