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Tema: infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

  1. #11
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    infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

    Julian, de ese modo podemos hacer que cualquier demostración de lo que queramos con tan sólo eliminando a dedo sus miembros jeejje.

    No es por que sí, no es un axioma Julian. Tiene un trasfondo físico que quiero saber, o no sé si es matemáticco, por esto lo pregunto.

    Además esto no sólo se usa aquí , si no en termodinámica, cálculo de estructuras....

    Lo que se es que tiende a cero mucho más rápido que , pero no entiendo por qué a la hora de integrar se desprecia, ya que por integral de Rieman, si yo tengo un mucho más pequeño que otro, no ocurre que se anule.


    Ya he visto que más gente tiene esta duda, ya que (aparte de plantearla antiguamente) , cyrock veo que tambien lo puso en otro post (pero nadie lo aclaró :( )

  2. #12
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    infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

    Pero a ver, si estamos en el límite, creo que es una buena aproximación, o como dirían los matemáticos: la mejor aproximación.

    Si tienes con y , implica que:

    , en el límite : es identicamente igual a la derivada, al menos esto es lo que dicen las matemáticas.


    Yo no lo veo ni chapuza ni nada, son aproximaciones pero que en el límite no son aproximaciones y de hecho, al integrar, nos vamos al límite.

  3. #13
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    infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

    ¿Pero qué es lo que dice el problema?, ¿para qué se integra y qué se integra y respecto a qué?
    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

  4. #14
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    infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

    bueno, mañana lo miro que me voy a la camita.
    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

  5. #15
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    infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

    Ostia, estaba ya en la camita, con la luz apagada e intentando dormir y se me ha venido a la cabeza "qué es lo que está haciendo innumerable".

    Es demostrar que en cada punto P, y para cada vector unitario N, se verifica que [(Rot V)*N](P) (donde * denota ahora al producto escalar) es igual al "límite" cuando el área tiende a cero, del cociente entre la circulación del campo V a través del borde de la superficie perpendicular a N, y el área de dicha superficie.

    Este teorema se puede demostrar rigurosamente, usando el Teorema de Stokes, el Teorema del valor medio, y explicando a qué se refiere con "límite".

    Si supiera escribir en Latex lo pondría. En cualquier caso mañana intento explicarlo con palabras.

    Lo que estaba haciendo innumerable (imagino) es una "derivación" (no una demostración rigurosa) de ese teorema para el caso en que P es el origen de coordenadas y N es el vector unitario i del eje X, por eso le sale la componente en x del rotacional del campo.
    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

  6. #16
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    infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

    Existe una preciosa teoría matemática, denominada Análisis No Convencional, en la que se da una definición rigurosa de lo que en Físicas e Ingenierías se denomina "incremento infinitesimal" o magnitud "infinitamente pequeña". Se trata de una formalización correcta de esas maneras de proceder, de forma que sean intuitivamente claras, manejables y a la vez, rigurosas y matemáticamente correctas. Desde luego no es sencillo introducirse en esa teoría, al menos si se pretende hacerlo desde la Axiomática de Zermelo-Fraenkel. Uno tiene que trabajar con ordinales para poder obtener un "número" infinito, de manera que al "invertirlo" te quede algo "infinitamente pequeño" pero distinto de 0 (estoy dando sólamente una imagen intuitiva del asunto, que conste). Pero yo pienso, personalmente, que merece mucho la pena, porque simplifica realmente las demostraciones, una vez hecho el esfuerzo inicial, y no hay nada que el Análisis (tradicional) pueda demostrar que no pueda hacerlo el Análisis No Convencional, y viceversa. La gran ventaja de asumir esa teoría es que permitiría una mucho mejor comunicación entre matemáticos y científicos y técnicos de toda índole (desde sociólogos hasta ingenieros, y no sólo físicos).

    Esta teoría, por desgracia, no se enseña. La primera razón es porque es relativamente moderna (creo recordar que se desarrolló en los años 70), y no muestra nada que el Análisis (tradicional) no pueda hacer ya. Los catedráticos y profesores universitarios tendrían que volver a aprender todo desde el principio, y lo que es más difícil, cambiar sus esquemas mentales, para poder trabajar con el Análisis No Convencional, y ese es un paso que no están dispuestos a dar. Los que están en su contra (o yo diría que los que lo desconocen) también arguyen que requiere un esfuerzo inicial mucho mayor que la versión tradicional del Análisis para poder adquirir las nociones básicas, por eso de tener que trabajar con ordinales... Me parece pura demagogia cuando en la inmensa mayoría de los sitios se considera la completitud de como un axioma, porque demostrarlo desde la Axiomática de Zermelo-Fraenkel requiere un esfuerzo ímprobo. Se podría enseñar Análisis No Convencional dando axiomáticamente sus principios básicos.

    Lo que para un matemático tradicional es una "chapuza" intuitiva, para alguien que ha visto el Análisis No Convencional puede ser (en el caso en el que el razonamiento sea correcto, claro) una demostración perfectamente rigurosa. Claro que los que conocen el Análisis No Convencional son una exigua minoría condenada a la extinción dentro de la Comunidad Matemática, desafortunadamente.

    Dicho esto, he de confesar que yo no he trabajado ni estudiado el Análisis No Convencional, pero lo he visto, y he visto algunas de sus demostraciones, y me ha cautivado. Estoy deseando terminar de una vez para estudiarlo en profundidad.

    Quien desee alguna información sobre el tema, Carlos Ivorra tiene un libro dedicado al Análisis No Convencional en su página web: http://www.uv.es/ivorra/Libros/ANE.pdf
    "Aquél que hace una pregunta puede parecer tonto durante cinco minutos. Aquél que no la hace, lo es durante toda su vida" (proverbio chino).

  7. #17
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    infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

    No se, yo creía que estaba preguntando una soberbia tontería , trivial y todo eso y me encuentro con que esto se lo aprende de memoria maś gente que la que yo pensaba

    A mi no me parece una chapuza, voy a demostrar por ejemplo que la divergencia es igual a



    Y sabiendo que las áreas infinitesinales son iguales dos a dos pero con su vector característico opuesto, se llega fácilmente.

    Luego no hay ningún apaño.

    Mat, lo mismo que he hecho con la divergencia, si lo haces con el rotacional , ahí sí te salen inifinitesimales de segundo órden. Además haciendo que éstos sean igual a cero, sale la expresión del rotacional como las derivadas parciales por componentes, el determinante operado en definitiva.

    saludos

    Tebau, ahora miralé lo de Carlos Ivorra a ver si me entero de algo y soluciono esto, porque me ha entrado curiosidad ya,antes los tachaba sin ton ni son, pero a hora ya es que me intriga.

  8. #18
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    infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

    Voy a comentar cómo sería una demostración seria:

    "Sea V un campo vectorial de clase C^1 sobre una región (abierto conexo) G de R^3. Sea P un punto cualquiera de la región y N un vector unitario cualquiera. Sea H el plano perpendicular a N que pasa por P. Sea S una variedad diferenciable compacta con borde, de dimensión 2, incluída en el plano H y en la región G, y que contiene al punto P.

    En virtud del Teorema de Stokes podemos afirmar que "Circulación del campo V a través del borde dS (al borde de la variedad S se lo denota como dS y es una curva)"="Flujo del rotacional de V a través de S"

    Y en virtud del Teorema del Valor Medio para integrales, existe un punto Q en la variedad S tal que "Flujo del rotacional de V a través de S"=[(Rot V)(Q)*N]."medida de área de la variedad S" , donde * denota el producto escalar y "." al producto de números reales.

    Total, que tenemos que "circulación del campo V a través del borde dS"=[(Rot V)(Q)*N]."medida de área de la variedad S" para un cierto punto Q que está en S.

    Así que despejando llegamos a:

    (Rot V)(Q)*N=("circulación del campo V a través del borde dS")/("medida de área de la variedad S").

    Sea ahora Sn, n perteneciente a N, una sucesión "admisible" de variedades diferenciables compactas con borde de dim 2 "evanescentes". Ésto significa que existe una sucesión de bolas del punto P, B(P,Rk) k perteneciente a N, tales que el lim cuando k tiende a infinito de Rk es cero, (es decir, la intersección de esas infinitas bolas es {P}) y tal que para cada k natural existe un n natural de modo que para cada natural m mayor o igual que n, se verifica que Sm está incluída en la bola B(P,Rk). Y tb (que se me olvidaba) P está en cada una de las variedades Sn.

    Entonces para cada natural n tenemos (aplicando lo de arriba):

    (Rot V)(Qn)*N=("circulación del campo V a través del borde dSn")/("medida de área de la variedad Sn") , donde para cada n natural, Qn es un cierto punto que está en Sn.

    Debido a que la sucesión de variedades Sn cumple todo lo que he puesto arriba (si no, no es válido el próximo paso) tenemos que la sucesión de puntos Qn converje al punto P, y por tanto podemos escribir:

    (Rot V)(P)*N=lim cuando n tiende a infinito de ("circulación del campo V a través del borde dSn")/("medida de área de la variedad Sn")


    Nota:no he comentado el aspecto de las orientaciones de S y de dS por no complicar más el asunto, se entiende que todas las Sn y S están orientadas por N y todas las dSn y dS tienen la orientación inducida standar de Sn y S.
    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

  9. #19
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    infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

    Yo lo que quiero entender mat, es esto:

    Voy a poner como creo yo que lo hacen, pues sólo ponen la primera parte y no la última (por eso pregunto)

    Si tenemos el borde de una superficie S, que es un cuadrado, que está situado en el plano x=0 , el del dibujo que antes puse vaya, entonces el rotacional de un campo vectorial es igual

    El ejemplo de la figura , sólo tiene componente en x, luego el rotacional de sobre el borde de S igual a , que es el módulo que multiplica a al hacer el determinante , es la componente en x. Sabiendo esto pues:








    Esto es lo que no entiendo. Ahí ¿qué ocurre con los inifinitesimales al cuadrado?

    Tiene que ser igual la última parte a ya que esto habrá otras formas de razonarlo, y no entiendo qué ocurre ahí.

    Lo que van haciendo, es ir cuadrado por cuadrado hallando la circulación, lo subdividen en lados y hallan la circulación aquí, luego suman los cuatro lados del cuadrado, tienen la circulación total a través del cuadrado , diviendolo por la superficie infinitesimal y así, lo hacen con las tres componentes del rotacional.

    El lado que tenga un sumando con un infinitésimo al cuadrado, se lo cargan, lo igualan a cero.

    A ver si ahora se entiende la pregunta, más no se me ocurre de como explicarlo.

  10. #20
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    infinitesimal al cuadrado ¿por qué al integrar es 0 ?

    Hola innumerable, dos apuntes:

    en el segundo paréntesis, los tres sumandos son negativos (no sólo el primero).

    entiendo lo que está haciendo tu libro, pero:

    no es una demostración matemática ni nada que se le parezca, es un típico ejemplo de las "manipulaciones con infinitesimales" que suelen hacer los libros de física y de ingeniería (algo a lo que me tuve que enfrentar en mis años de ingeniería).

    Tampoco entiendo (al igual que tú) por qué "elimina" los dos sumandos que "le conviene" al final, para que dé lo que, demostrado rigurosamente, sabemos que tiene que dar.

    Ahora no puedo seguir, después continúo.
    ¿por qué te cambiaste a Matemáticas? Porque la primera vez que vi una demostración matemática...me cautivó.

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