Título: La i y la ortogonalidad
Autor: Entro

El hilo original es este: http://foro.migui.com/smf/index.php?topic=3621.0

Hola amigos,

El tema que nos ocupa hoy es el de ORTOGONALIDAD (el remarcado es mio):

Muchas veces oimos e incluso decimos: Estos vectores son ortogonales, y nos quedamos tan panchos. Detras de esta inocente sentencia hemos dicho algunas cosillas como:

1º Trabajo en un espacio vectorial.
2º El espacio es normado, tiene un producto interior definido, el producto escalar.
3º Generalmente se asume que dicho producto es una tensor definido positiva y no degenerada, una métrica.
3º Los vectores cuyo producto interior es nulo los denominamos ortogonales.

Lo que ocurre es que actualmente hay ciertos detalles que se relajan, desde el advenimiento de las geometrías no euclídeas aprendimos que la única razón para exigir que una métrica sea definida positiva, de determinante no nulo y positivo, es por cuestiones históricas. Esta clase de métricas describen muy muy bien las geometrías euclídeas, expresadas en coordenadas cartesianas, esféricas, etc. Pero al fin y al cabo geometrías euclídeas donde los angulos de un triangulo suman 180º el rollo de las paralelas y todo lo que se conoce.

Pues un buen día un tal Minkowski, geómetra vocacional, formado a finales del XIX, con una herencia clásica del copón, se propone dar un sentido geométrico a una cosilla que pululaba por ahí con el nombre de Relatividad Restringida.

Lo que el conocia es que:

1º En dicho espacio existía una magnitud invariante bajo las transformaciones permitidas, (Las de Lorentz), el intervalo relativista. Dados dos puntos (t,x,y,z) y (t',x',y',z'). Se puede formar un vector, y con el hecho de homogeneizar las unidades de estas coordenadas se introduce la velocidad de la luz multiplicando al tiempo. Minkowski que no era bobo sabía que e=vt. Así (ct,x,y,z) es una tupla de 4 numeros reales todos con las mismas dimensiones. (Dimensión en el sentido de caracter de la magnitud, Longitud, Masa, Tiempo, etc.)

2º Sin embargo, valgame el cielo, un tal Albert había demostrado que exigir invariancia de la velocidad de la luz para los observadores inerciales era totalmente equivalente a exigir que el intervalo relativista:



Fuera invariante bajo transformaciones de Lorentz, que son las transformaciones permitidas entre observadores inerciales.

3º En ese intervalo, que ahora veremos que es expresión de una métrica, aparece un maldito signo menos. Mala cosa ya que las métricas han de ser definidas positivas. ¿Qué hizo Minkowski si sabía que la geometría implicada era hiperbólica (signo menos en una componente ) pero debía de mantener la métrica positiva?

Hizo lo siguiente: Le puso una i a la componente de signo negativo en el vector y dijo que los vectores tendrían la forma (ict,x,y,z)

4º Eso le permite definir una métrica, y por tanto un sentido de ortogonalidad, del tipo:



Con lo que el módulo de un vector sería:



Es facil comprobar que

6º Pero claro, interpretar un ict no es simple, desde un punto de vista físico. Qué sentido tiene un tiempo imaginario, ¿Acaso mi reloj no me da numeros reales?. El problema está superado hoy día, ya que no tenemos problemas en emplear métricas no definidas positivas ya que su interpretación en términos físicos es mucho más facil que interpretar un término (it). Así que hoy día empleamos:



Quedando el módulo del vector como:



Con lo cual la i, es totalmente superflua, porque el signo ya lo lleva la propia métrica y tiene un sentido geometrico preciso y rotundo, estamos en una geometría que no es cartesiana. De hecho aparecen conos de luz que son de vectores que son ortogonales a si mismos, cosa que en cartesiana o euclidea no tiene ningún analogo. (Estos son los vectores que representan partículas que viajan a la velocidad de la luz.)

Qué pasa con la ortogonalidad:

Vamos a tomar el vector (ct,0,0,0) y un vector (0,x,0,0). Uno de ellos está en el eje t y el otro en el eje x. ¿Son ortogonales?

Calculamos su producto interior, por medio de la métrica:



Ahora le ponemos una ict:



¿Qué efecto tiene la i sobre la ortogonalidad? Ninguno, la ortogonalidad es una característica de un par de vectores dada por la métrica.

Y si usamos la otra métrica:



Y siguen siendo ortogonales, el que haya una i o no da lo mismo, porque vectores en distintos ejes en espacios donde la métrica es diagonal o se puede expresar de forma diagonal, son ortogonales.

Saludos