Ecuación diferencial

**sheriff** · 15/02/2007 17:54

bueno, yo no tengo ni idea de ecuaciones diferenciales, me gustaría que alguien me diera la solución de ésta, y a ser posible el procedimiento:

$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{GM}{x^2}$ donde G y M son constantes, me gustaría obtener $x(t)$

gracias de antemano

**sheriff** · 16/02/2007 18:54

reabro este tema pq me sería importante tener la solución. si alguien tiene mathematica o algo y me puede poner aunque sea la solución sin explicación, se lo agradezco igualmente... gracias

**n0mad** · 16/02/2007 19:01

Regla de la cadena.

$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx}v$

**Pantalàimon_** · 16/02/2007 19:31

jejeje, ni idea, yo también estoy interesado desde hace ya tiempo pero creo que no tiene solución analítica. Fíjate también que si quieres sacar la ecuación del movimiento, date cuenta que si planteas la ecuación así sólo vale para x positivas, pues para x negativas la aceleracion es positiva.

Prueba de usar lo siguiente:

$\frac{d^2x}{dt^2} =\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$

Con lo cual tenemos

$vdv = -\frac{GM}{x^2}dx$

de aquí podrás sacar una relación $v=g(x)$

entonces $t= \int \frac{dx}{g(x)}$

De manera que te saldrá una relación $t=f(x)$

y si la inviertes te dará x(t) , lo que no se puede invertir

**sheriff** · 16/02/2007 19:39

jajaj, el problema es esa segunda integral...

**Pantalàimon_** · 16/02/2007 19:42

No no, es resoluble, si quieres te pongo la solución, pero dime si quieres una velocidad inicial 0 o pongo un valor arbitrario $v_0$

**sheriff** · 16/02/2007 19:42

el lío es este:

$t=\int \frac{dx}{\sqrt{2GM(\frac{1}{x}-\frac{1}{R})}}$

donde $G$ , $M$ y $R$ son constantes... alguien tiene ideas de esa integral infernal??

**Pantalàimon_** · 16/02/2007 20:01

Un apunte, mejor no desperdiciar ninguna solución a la integral:

$- \int \frac{dx}{\sqrt{2GM(\frac{1}{x}-\frac{1}{R})}}$ también puede ser solución.

Cambio de variable:

$x = R \cos^2 u$ (fíjate al poner eso vuelvo a restringir la x a los reales positivos, hay un coseno al cuadrado)
$dx = -2R \sin u \cos u du$

$t=\int \frac{dx}{\sqrt{2GM(\frac{1}{x}-\frac{1}{R})}} =\frac{-2R \sqrt{R}}{2GM} \int \cos^2 u du = \frac{-R \sqrt{R}}{2GM}(u + \sin u \cos u)$

Editado: que por cierto, no la podrás invertir...

**sheriff** · 16/02/2007 20:31

bueno a mi lo que me salió es esto, que puede ser lo mismo o no...

$t=-\frac{R}{4}\sqrt{\frac{2}{GM}}(\frac{2\sqrt{x}\sqr t{R-x}}{R}+arcsen(\frac{\sqrt{R-x}}{\sqrt{R}}))$

y en efecto para cada x, el arcsen hace que salga más de un t, que es lo que esperaba...

eso no es posible de invertir no??

vaya panzada

**graviton** · 16/02/2007 20:34

Quiza te sirva esta vieja discusión:
http://foro.migui.com/smf/index.php?topic=522.0
Pero sólo las primeras páginas, que luego está lleno de despropósitos de cierto baneado.

Tema: Ecuación diferencial

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