Conjunto Convexo

[joaquin_mx]

Saludos foro..!

después de un pequeño break por la red, pues aquí de regreso dando lata y preguntando.

Algo autoevidente, pero no veo como demostrarlo "formalmente". Se trata de lo siguiente, seguro una chorrada.

Sea el paralelogramo generado por los vectores y que consiste en todas las combinaciones lineales , donde y , probar que es convexo.

saludos!

[Smaigol]

Un dibujito ilustrativo:



Como se ve, el poligono generado por los vectores será concavo si y solo si el vector de posicion tomado desde el punto O (que por simplicidad asumiremos que es el origen) pasa por fuera del polígono para determinados puntos del mismo.Es decir, que el segmento de recta que pasa por (0,0) y P tiene puntos fuera del polígono.Demostremos que esto es falso, para todo punto P en el paralelogramo:

El vector de posicion de este punto P es



Para ciertos .Por tanto, la recta que pasa por P es sencillamente



Donde es un parámetro que solo toma valores entre 0 y 1 (es decir, consideramos solo la porción de la recta que va desde el origen hasta el punto P).Expandamos un poco el vector de posición de un punto genérico de ese segmento:



Como vemos, el vector de posicion x se puede poner como combinación lineal de los vectores que generan el paralelogramo, para ciertos numeros a,b entre 0 y 1, como es directo comprobar.En otras palabras, el punto x (punto genérico del segmento) es un punto del paralelogramo (cumple la definicion de este), y por tanto, sea cual sea el punto P de destino, se puede unir con el origen mediante un segmento que no sale del paralelogramo.En otras palabras, el paralelogramo es convexo.

[joaquin_mx]

Hola Smaigol!

Gracias por la respuesta, y esque ando "reordenando" lo básico de algebra lineal.

Entonces con un sòlo valor de a y b (o ,) que no este en [0,1] ya no es convexo.

Tambien por "definición" diríamos que el conjunto de puntos de la región cerrada de un paralelogramo y cualquier -poligono regular- es convexo y no necesariamente asi la de un poligono irregular.