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Tema: cortaduras de Dedekind

  1. #1
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    cortaduras de Dedekind

    En la wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekind no me queda claro la definición de cordadura.Sólo está claro en el caso de ser racional.

    Por lo que dice definiría cordadura racional asociada a r como el conunto de los racionales menores que r.

    El tercer punto es el que no entiendo:

    Si está claro que si y entonces si pero si (si s fuera irracional no podría pertenecer a la cortadura, dado que A al estar incluido en Q, no contiene irracionales)

    Pero indica que el conjunto de todas las cordaduras (sin indicar que sean racionales) es por definición el conjunto R de los reales.

    La verdad, no me sale R por ningún sitio.
    Stephen Hawking:No sólo Dios juega definitivamente a los dados sino que además a veces los lanza a donde no podemos verlos.
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  2. #2
    Guest

    cortaduras de Dedekind

    Asi a votepronto no le veo ningun inconveniente. Se nos dice que por definicion que el conjunto de cortaduras es un R, y que dentro de ellas existen las cortaduras racionales asociadas a los racionales, que no son todas.

  3. #3
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    cortaduras de Dedekind

    ¿Y los números reales?
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  4. #4
    Guest

    cortaduras de Dedekind

    No dice como se definen, pero pueden estar contenidos en las cortaduras racionales ¿?, segun se dice dentro de una cortadura siempre puedes definir otro numero mayor. O es posible que existan cortaduras asociadas a los numeros reales no racionales ¿? a priori. Si por definicion las cortaduras contienen toda la recta, entonces alguna de las 2 opciones habra de ser.

    De todos modos en anterior mensaje puse Q donde tube que haber puesto R

  5. #5
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    cortaduras de Dedekind

    Buenas,

    las cortaduras de Dedekind son el método que usó Dedekind para dar lugar a los irracionales de la recta real del siguiente modo. Dedekind trabaja sobre los racioanles como un conjunto ordenado

    Lo primero es ver que los racionales con su orden usual son un conjunto totalmente ordenado, es lo que se llama un conjunto totalmente ordenado denso, y es numerable, a demás los racionales con su orden usual no tienen puntos terminales, es decir ni máximo ni mínimo.

    En general puede demostrarse que los conjuntos totalmente ordenados, densos, numerables,y sin puntos terminales son únicos en el sentido siguiente:

    Dados (A,<) , (B,<') con esas propiedades entonces son similares, esto es que

    existe una aplicación f: A ----> B biyectiva tal que

    dados x,y de A, x < y si y solo si f(x) <' f(y)

    Las cortaduras de Dedekind permiten dar una complección de un conjunto totalmente ordenado denso, numerable sin puntos terminales (P,<).

    En el sentido de que permiten obtener un conjunto
    totalmente ordenado (C,<'),
    completo
    sin puntos terminales
    que contiene a una copia similar de P
    que <' restringida a P es <
    y que cumple que es denso
    y que P es denso en C

    Un conjunto totalmente ordenado es completo cuando dado un subconjunto no vacío de él, si está acotado superiormente entonces posee supremo

    Un conjunto totalmente ordenado es denso cuando dados dos elementos de él uno menor que el otro, entonces existe un tercer elemento entremedias de ambos

    Un conjunto totalemente ordenado P contenido en otro totalmente ordenado C, de modo que el orden de C restringido a P sea el orden de P, es denso en C, cuando dados x,y de C uno menor que el otro, hay un elemento z de P entre entre x e y

    Despues puede demostrarse que otro (C',<'') que cumpla esto para (P,<) sería similar a (C,<'), y por tanto esa complección es esencialmente única.

    Cuando (P,<) es el conjunto de los racionales con su orden usual, obtenemos su complección, y esa complección son los números reales.

    En general se definen las cortaduras de este modo

    Dado (P,<) conjunto totalmente ordenado, se llama cortadura a todo par (A,B) de subconjuntos de P que cumplen:



    Si a es de A y b es de B entonces

    Dentro de las cortaduras podemos distinguir algunas que son las que nos interesan, por ejemplo si tenemos los racionales podemos hablar de los siguientes conjuntos





    estos son una cortadura de los racionales, y fíjate que se cumple que ni A ni B tienen ni máximo ni mínimo

    Ese tipo particular de cortaduras se denominan gaps o huecos, y son las que nos van a interesar más profundamente, porque esas son las que nos van a determinar a los números irracionales

    Por otro lado si (P,<) es un conjunto totalmente ordenado denso, y (A,B) es una cortadura, es claro que no puede ocurrir simultaneamente que A tenga máximo, B tenga mínimo

    [ Cierto pues de haber máximo a de A y mínimo b de B, al ser P denso, habría p de P con a < p < b, como p está en P, y P = A U B, entonces p está en A o en B, pero eso es una contradicción, pues de estar en A sería mayor que su máximo, y de estar en B menor que su mínimo]

    Así pues las cortaduras en un conjunto denso, son de tres posibles tipos

    De las que A no tiene máximo, y B no tiene mínimo
    De las que A tiene máximo y B no tiene mínimo
    De las que A no tiene máximo, y B tiene mínimo

    Las primeras son los huecos (gaps)
    y de las otras dos podemos quedarnos con las que queramos, en la definición del Wikipedia e quedan con las que A tiene máximo y B no tiene mínimo, para lo que usará como definición de completitud el que todo conjunto no vacío acotado inferiormente tenga ínfimo, esto es equivalente a la definición que dimos en términos de supremo

    Lo que hace el Wikipedia es identificar las cortaduras con el conjunto A, y tomar B como P - A, seguramente.

    El caso es que considerando C = { (A,B) | (A,b) es cortadura de P}, y definiendo el orden
    si y solo si

    se obtiene una complección de P cumpliendo las propiedades ya puestas

    Además se identifica a los racionales con las cortaduras en las que A tiene máximo

    si q es un racional se le hace corresponder la cortadura


    eso da una aplicación inyectiva y se toma como copia similar de P en C a la imagen por esa aplicación, vamos que se identifica P con su imagen por esa aplicación.


    Saludos

  6. #6
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    cortaduras de Dedekind

    :s:

    Me llevará TODA la mañana asimilar TODO lo que has puesto. Esta noche, descansaré un poco.
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  7. #7
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    cortaduras de Dedekind

    Según yo lo entiendo, las cortaduras en las que A tiene máximo definirían un racional (el máximo de A).

    Igualmente, las cortaduras en las que B tiene mínimo definirían un racional (el mínimo de B).

    En cambio, las cortaduras en las que A no tiene máximo ni B mínimo serían las que definirían el número irracional.

    Por ejemplo, el número raiz de 2 está definido de tal manera que A son los racionales que elevados al cuadrado son menores que 2, y B los racionales que elevados al cuadrado son mayores que 2.

    Ni A tiene máximo, ni B mínimo. Porque como demostró Euclides no hay ningún racional que sea igual a raíz de 2.

    Es decir que los irracionales ocupan los huecos que deja Q en la recta real.

  8. #8
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    cortaduras de Dedekind

    Me cuesta horrores entenderlo.

    Intentaré verlo con ejemplos donde se pueda. Como la mejor manera de entender las cosa es intenar rebatirla por todos los medios aquí empieza mi guerra

    ¿Punto terminal es una cota que pertenece al conjunto?.

    En general puede demostrarse que los conjuntos totalmente ordenados, densos, numerables,y sin puntos terminales son únicos en el sentido siguiente:

    Dados (A,<) , (B,<') con esas propiedades entonces son similares, esto es que

    existe una aplicación f: A ----> B biyectiva tal que

    dados x,y de A, x < y si y solo si f(x) <' f(y)


    A' es Q con la relación de orden dada por su numeración.



    Pero A' tiene un punto terminal, el 0, que es menor (con esa relación de orden) que cualquier otro elemento de A'.

    Significa que A', el conjunto Q con la relación de orden dada por su numeráción no es similar a Q?. O bien es que no se ha demostrado con esa proposición y se necesita otra?.

    Antes de seguir, necesito entender esta proposición, para luego seguir y ver si es posible dicha aplicación biyectiva y todo el resto del denso post que has puesto.

    Saludos.
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  9. #9
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    cortaduras de Dedekind

    Buenas,

    el tema es que el orden que has definido no es denso, mientras que el de Q usual si. La densisdad es fácil ver que se conserva por similaridad, es por ello que los órdenes que has definido no son similares.


    Los puntos terminales son los máximos y mínimos del conjunto, si.

    La completación de los racionales por los reales se hace con el orden usual.

    Saludos

  10. #10
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    cortaduras de Dedekind

    el tema es que el orden que has definido no es denso, mientras que el de Q usual si. La densisdad es fácil ver que se conserva por similaridad, es por ello que los órdenes que has definido no son similares.
    Bueno, el ordeno no lo defino yo. Si A es un conjunto y es numerable, por el hecho de serlo, aparece ese orden "no denso".

    Pero volviendo a las cortaduras:



    P es numerable con numeración similar a Q.
    La relación de orden habitual en Q.
    No tiene elementos terminales.
    La relación de orden es total.
    La densidad se deduce de la densidad de Q:

    Si existe t,u / existe t,u / (no lo demuestro, pero creo que es fácil).

    Entonces existe una función f que cumple que dados x,y de P, x<y si y sólo si f(x)<'f(y).

    Esta función sería la raiz cúbica y por tanto P es similar a Q y < es <'

    Las cortaduras de Dedekind permiten dar una complección de un conjunto totalmente ordenado denso, numerable sin puntos terminales (P,<).

    En el sentido de que permiten obtener un conjunto
    totalmente ordenado (C,<'),
    completo
    sin puntos terminales
    que contiene a una copia similar de P
    que <' restringida a P es <
    y que cumple que es denso
    y que P es denso en C
    El conjunto que se puede obtener fácilmente sería Q.

    1.-Totalmento ordenado (C<')

    No compredo lo del <' pero supongamos que < es <'

    2.- completo

    No lo veo, C no tien por qué ser R, aunque podría ser Q.


    3.- Sin puntos terminales. De acuerdo.

    4.- que contiene a una copia similar de P. Se ha probado que así es. Además se podría probar que

    5.- que <' restringida a P es <.

    Me pierdo

    6.- y que cumple que es denso. Se ha probado

    7.- y que P es denso en C.

    Me pierdo.

    El problema es que no sé que conjunto es ese conjunto C y menos su relación de orden <'. Pero sobre todo, por qué es completo.

    Es decir en P hay números que no se alcanzan, pero sí en Q. Pero Q contiene números que no se alcanzan y éstos unidos a Q formarían R.

    Pero sigo sin ver cómo se podría obtener R a partir de Q. En el ejemplo obtenemos Q a partir de P, pero no era un conjunto completo.

    EDITO POSTERIORMENTE

    existe una aplicación f: A ----> B biyectiva tal que
    Evidentemente la función f que he puesto no es biyectiva ya que hay elementos de Q que no serían imagen de P.

    Por tanto P no es similar a Q.


    Saludos.
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