Inercia de una viga

[Cyrock]

Una dudilla que siempre he tenido:

Si tengo una viga empotrada, la inercia de la sección respecto a que recta horizontal se calcula? Es decir, respecto a qué altura? Lo normal es hacerlo respecto al centro de la sección, pero no se cual es la razón? O esto es válido sólo admitiendo pequeños desplazamientos? En fin, una aclaración necesito

[Koko]

Hola. Cuando calculas una viga a flexión, debes considerar el momento de inercia respecto del eje contenido en el plano en el que la viga flecta. Es decir, el momento de inercia que "se opone" a que la viga flecte.

Por ejemplo, tienes una viga tipo IPN que trabaja a flexión sobre su canto fuerte. En ese caso, el eje respecto del cual tienes que calcular el momento de inercia es el x (representado en la figura). En el caso de que trabaje sobre el canto debil, el momento inercia se calcula respecto del eje y.



El hecho de tomar los ejes que pasan por el centro, es por que por ahí está la línea neutra de la viga, es decir, es la zona donde las la viga pasa de trabajar a compresión a tracción. Es un fibra de la viga que no está sometida a tensión, y por ello, se considera como eje de flexión, al igual, por ejemplo que el punto de apoyo de un balanción que hay en los parques. Ese punto de apoyo nunca gira, siempre está en la misma posición.

La línea neutra, también debe pasar por el centro de masas de la sección de la viga, por tanto, si la viga no es simétrica, la liena neutra (y por tanto el eje de flexión sobre el que hay que calcular el momento de inercia) tampoco estará en el centro de la sección, sino algo desplazado.

Un saludo.

[Cyrock]

Gracias koko.

Eso me temía, que fuera la línea neutra, pero entonces se presenta algún inconveniente.
Si la barra además esta sometida a un axil, la linea neutra se desplaza, por lo que deberíamos calcular la inercia respecto a otro punto. Si esto se hiciera así no problemo, pero no es así. Se calcula la inercia respecto al eje central y posteriormente se calcula la línea neutra con la ley de Navier como la recta para el cual la tensión es nula. Sin embargo, si esta recta no coincide con el eje respecto al cual hemos calculado la inercia los cálculos serán falsos.

Para hacer las cosas bien...¿No deberíamos pues dejar la inercia en función de la altura y resolver una ley de navier un poco más complicada?

[Koko]

Bueno, cuando actúa un axial además del momento flector, tenemos dos variantes:

1) El axial actúa centrado en el eje de la sección, por lo que el axial no altera la linea neutra y podemos seguir considerando que esta se encuentra centrada en la sección de la barra.

2) El axial actúa con cierta excentricidad respecto del centro de la sección. En este caso, podemos hacer la siguiente consideración (la cual es totalmente correcta y exacta, no es ninguna aproximación):




Si actúa un flector M y un axial P con excentricidad e, el sistema es equivalente a uno en el que el axial P esté centrado y el flector sea en este caso la suma del que habia antes (M), más un flector adicional de valor P*e.

Por tanto cualquier sistema con axial descentrado, se puede transformar en un sistema de axial centrado y momento flector M+P*e o M-P*e, dependiendo de si la excentricidad es positiva o negativa respecto del centro de la sección.

[Cyrock]

koko, creo que te has colado...

Imagina una viga horizontal empotrada-libre. Si aplicas un momento en el extremo libre tendrás un flector constante que actua a lo largo de la barra. La parte superior de la barra estará estirada y la parte inferior comprimida. Por continuidad habrá un punto intermedio en el cual la tensión será nula. Si ahora además añadimos una carga horizontal hacia fuera, podemos sumar las tensiones resultantes y por lo tanto habrá una zona que antes estaba comprimida que ahora esta estirada, y la anterior linea neutra estará ahora estirada. Por lo que hemos desplazado la linea neutra sin ninguna excentricidad.

Por lo tanto, si se calcula la inercia desde la línea neutra, necesitaremos conocer donde esta esta antes de calcular la inercia, pero al mismo tiempo necesitamos conocer la inercia para la linea neutra. ¿?

[Koko]

Cyrock, no me he colado, lo que pasa es que o no me he explicado bien o tu no me has entendido. Quizás sea que no me expliqué lo suficiente.

Tu intentas analizar las tensiones de la viga de forma global, considerando las tensiones por flexión y las tensiones por compresión simultáneamente. Es una opción, pero desde luego es un procedimiento poco útil.

El procedimiento que se sigue es el siguiente:

Tenemos una sección de una viga, S, con momento de inercia I, sobre la que actúan un momento flector M, y un axial P. La tensión que provoca el axial P, es:

Tp=P/S

La tensión que provoca el flector M, será:

Tm=M*(h/2)/I

Siendo h el canto de la viga (consideremos sección de la viga simétrica)

Bien, si el axial P, está centrado, ya tenemos el problema resuelto. Está claro que el axial va a variar la línea neutra, pero yo primero considero el efecto del flector, considerando la linea neutra centrada, y luego le sumo el efecto del axial, que evidentemente alterará la posición de la línea neutra, pero da igual. Yo puedo considerar las tensiones en la viga provocadas por diferentes esfuerzos (M y P) por separado, y luego sumar sus efectos. Esto lo puedo hacer porque es aplicable el principio de superposición, ya que las leyes son lineales. En caso de efectos de seundo orden (pandeo por ejemplo), este principio no es aplicable.

Por tanto, se calcula la tensión que provoca el flector considerando el momento de inercia respecto del centro, ya que esa es la línea neutra que habría en caso de que sólo actuara el flector. Seguidamente añadimos la tesnión que provoca el axial, que evidentemenete moverá la línea neutra de sitio, pero eso me da igual, ya tengo las tensiones en la sección.

En el caso de que el axial no esté centrado, siempre podemos obtener un sistema equivalente en el que el axial esté centrado y el momento flector tome un valor M +/- P*e. Podemos jugar con las equivalencias todo lo que queramos. Incluso podemos considerar que un sistema con axial P y flector M, es equivalente a un sistema sin axial, y con un flector M', aplicado en un eje desplazado del centro de la sección.

En definitiva, dame cualquier sistema en el que haya axiales y flectores, y te lo podré reducir a un sistema de axial centrado y flector actuando sobre la línea neutra centrada.

Un saludo.

[Cyrock]

Vale, ahora te he entendido mejor.

Lo que pasa es que de primeras no veo obvio que es vaya a dar los mismos resultados por el método que mencionas y el método que yo proponía. Por linealidad debería dar, pero si la inercia ya no es fija deja de ser un problema lineal(por no serlo la inercia)...

Recuerdo resolver los ejercicios planteando la ley de navier metido todo a piñon, momentos y axiles y despejar de ahi la y para la cual las tensiones son nulas. De esa forma, no tengo muy claro que sea válido suponer la inercia respecto al centro de la sección :S. No sé, aver si ahora en pascuas hago unas pruebas y me convenzco.

Entonces, según lo que propones, en un principio SIEMPRE se coge la inercia respecto al centro de la sección? Independientemente de que sea simétrica o no?

:h

[Koko]

Hola. Bueno, en las normativas, concretamente en la NBE-EA95, vienen unas tablas de perfiles (IPN, IPE, HEB, etc), en esas tablas tenemos los valores de los momentos de inercia respecto del eje x e y. Si las secciones son simétricas, los ejes x e y están centrados, pero si no hay simetría, los ejes de inercia no están centrados. Concrétamente los ejes x e y, pasan por el centro de masas de la sección. Entonces tu vas a las tablas, tomas los valores de los momentos de ienrcia respecto de esos ejes x e y, y luego dependiendo de la posición en que esté trabajando la viga, pues eliges un valor u otro. El procedimiento para ver las tensiones es este:

T = Tp +Tm = P/S + M/W < 2600 kp/cm2 (tensión límite elástico acero)

W es el módulo resistente, que es el momento de inercia dividido entre la distancia desde el eje considerado al borde externo de la sección. W=I/x. En el caso de la sección simétrica: W=I/(h/2), siendo h el canto de la sección.

Un saludo.

[cometo]

Abundando en el tema:

En cualquier caso, la inercia de la viga sea empotrada, apoyada o como sea, se calcula respecto del baricentro de la sección (o como dice koko, el centro de masas), para cualquier tipo de combinación de solicitaciones. Punto.

Si tienes axil combinado con flexión, usas la fórmula de navier "a palo seco" y ya está.

Es erróneo pensar que el "punto" respecto el que se calcula el momento de inercia sea el eje neutro. Se calcula respecto el baricentro de la sección.

Saludos.