algebra lineal y una demostracion

**n0mad** · 21/02/2006 21:03

Necesito una ayuda rigurosa. Dada una aplicacion cuya imagen es un plano $\mathbb{R}^2$ .

Siempre podemos encontrar una base en la que la matriz de la aplicacion tome la forma :
$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$

Es esto correcto o falso. Necesito respuestas argumentadas. Quiero resaltar que la imagen es un plano, es decir lleva todo el espacio a ese plano, incluidos logicamente los vectores del plano. Muchas gracias a todos.

**Luisfer** · 21/02/2006 21:26

Bueno, desde mi oxidación en esto yo diría que sí. La aplicación sería precisamente una proyección sobre ese plano; si tu tomas una base de dos vectores pertenecientes al plano (linealmente independientes, claro) y otro perpendicular a ellos, y haces que la aplicación mande todos los vectores al plano tienes ese caso.
Como la matriz es la imagen de los vectores de la base, el vector perpendicular al plano se va a cero.
Con un ejemplo, si tomamos la base canónica y hacemos:

$f(x,y,z)=(x,y,0)$

Tenemos que:

$f(1,0,0)=(1,0,0)$ (vector propio)
$f(0,1,0)=(0,1,0)$ (vector propio)
$f(0,0,1)=(0,0,0)$ (vector del núcleo)

Aquí el plano es el generado por los dos primeros vectores de la base, y el perpendicular es el otro.

Pero bueno, espera a que lleguen los pesos pesados

P.D. Este problema me suena...debería sonarme?

**leach** · 21/02/2006 22:08

Iniciado por n0mad

Necesito una ayuda rigurosa. Dada una aplicacion cuya imagen es un plano $\mathbb{R}^2$ .

Siempre podemos encontrar una base en la que la matriz de la aplicacion tome la forma :
$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$

Es esto correcto o falso. Necesito respuestas argumentadas. Quiero resaltar que la imagen es un plano, es decir lleva todo el espacio a ese plano, incluidos logicamente los vectores del plano. Muchas gracias a todos.

Esto es falso. El contraejemplo es una forma canónica de Jordan del tipo siguiente:

$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$

Esta matriz es triangularizable pero no diagonalizable. Este ejemplo vale tanto para matrices reales como para matrices complejas: la diagonalización no es posible.

Otro ejemplo, en este caso estrictamente real, es el de una aplicación lineal con autovalores complejos, que no podrás ni siquiera triangularizar en $\mathbb{R}$ . Por ejemplo:

$ \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$

esta matriz es la de una aplicación lineal con valores en un plano, pero cuyos autovalores no son reales. Luego no puedes diagonalizarla en $\mathbb{R}$ .

En resumen, te encuentras con dos obstáculos:

1) En general, no toda matriz real o compleja es diagonalizable. Sin embargo, las complejas sí son al menos triangularizables.

2) En el caso de las matrices reales, no siempre puedes triangularizar en $\mathbb{R}$ . Por ello, mucho menos podrás diagonalizar.

**Luisfer** · 21/02/2006 22:11

En fin...disculpas. No volveré a hablar

**leach** · 21/02/2006 22:12

Iniciado por Luisfer

En fin...disculpas. No volveré a hablar

¿Eso no es un poco radical?

??:

**Luisfer** · 21/02/2006 22:16

Iniciado por leach

Iniciado por Luisfer

En fin...disculpas. No volveré a hablar

¿Eso no es un poco radical?

??:

No lo creo. Tengo la costumbre de equivocarme y me parece que es que hablo demasiado.

**n0mad** · 21/02/2006 22:34

De acuerdo! Muchas gracias a los 2. Lo que ha dicho luisfer es muy razonable, pero mi duda venia al considerar otras aplicaciones mas exoticas que pudiesen tener como imagen un plano y fuesen mas complicadas que una proyeccion.

Necesitaba una respuesta argumentada porque de ello dependia un problema de 2 puntos en mi examen de algebra. El examen pedia demostrar que una aplicacion f cuya imagen fuese un plano. No podia tener como matriz $f^2$ la matriz nula.

De nuevo gracias a los 2.

**Nexus 7** · 21/02/2006 22:42

Hola.

Iniciado por Luisfer

Tengo la costumbre de equivocarme y me parece que es que hablo demasiado.

Pues hablando las cosas, aunque sea con uno mismo empleando un block de notas y aunque nos equivoquemos al hablar, es la mejor forma de entender los conceptos y que éstos pasen de la memoria inmediata a la memoria a largo plazo.

La gran ventaja de equivocarse en público es que te corrijen, y con ello uno evita que tu error quede grabado como algo correcto en tu memoria. Cuando superas el temor al ridículo, que es inexistente pues nadie sensato puede creer que hayas hecho el ridículo, solo ves ventajas en responder lo que piensas.

Saludos.

**Ronin** · 05/03/2006 12:39

Iniciado por n0mad

De acuerdo! Muchas gracias a los 2. Lo que ha dicho luisfer es muy razonable, pero mi duda venia al considerar otras aplicaciones mas exoticas que pudiesen tener como imagen un plano y fuesen mas complicadas que una proyeccion.

Necesitaba una respuesta argumentada porque de ello dependia un problema de 2 puntos en mi examen de algebra. El examen pedia demostrar que una aplicacion f cuya imagen fuese un plano. No podia tener como matriz $f^2$ la matriz nula.

De nuevo gracias a los 2.

Buenas,

efectivamente si tienes una aplicación lineal de un espacio de dimensión tres en si mismo cuya imagen es un plano nunca le puede ocurrir que f^2 sea la aplicación lineal nula.

Supón que si lo fuese f^2 = 0 entonces se tendría que

f ( Img(f)) = {0} de donde tendríamos que Img(f) estaría contenida en Ker(f)

y por tanto dim(Img(f)) <= dim (Ker(f))

como Img(f) es un plano y el espacio base de la aplicación lineal es de dimensión tres entonces tendría que ser dim(Ker(f)) = 2 o dim(Ker(f))= 3, pero esto no es posible pues de ser así sería

3 = dim (E) = dim(Img(f)) + dim(Ker(f)) > 3

Lo que es una contradicción.

Saludos

Tema: algebra lineal y una demostracion

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