Lagrangiano relativista

**leach** · 17/02/2006 23:55

Iniciado por n0mad

Le tendre que echar un ojo al Goldstein. :D

De noche, y en esa esquinita de tu habitación donde crees que no te vigila la telepantalla

.

Estoy actualmente bastante quemado, pero intentaré poner la demostración matemática de la fórmula variacional para este caso entre hoy y mañana. Es interesante, e involucra aplicar con cuidado el teorema de Stokes, y el lema fundamental del cálculo variacional. Me parece interesante ver la demostración matemática en general, porque pone las cosas en perspectiva.

No sé hasta qué punto vendrá bien en el Goldstein. La primera versión que tuve de ese libro era de segunda mano, la edición de los años 70, y la parte de cálculo variacional usaba una notación muy anticuada e inconveniente. Creo que las ediciones modernas lo traen mejor, de hecho tengo una edición moderna por aquí, pero no tengo ni ganas de ponerme a mirarlo en este momento

.

En fin, a ver si el fin de semana.

**MiGUi** · 18/02/2006 01:20

No, digo la parte de cálculo variacional donde se deducen las ecuaciones de Euler-Lagrange. Si n0mad tiene dudas cuando pasa de S a dS seguro que el Goldstein le aclara algo

**leach** · 18/02/2006 01:39

Iniciado por MiGUi

No, digo la parte de cálculo variacional donde se deducen las ecuaciones de Euler-Lagrange. Si n0mad tiene dudas cuando pasa de S a dS seguro que el Goldstein le aclara algo

He estado mirando el Goldstein, y trae las cosas muy bien; ya no es lo mismo que en la vieja edición que tenia. También trae otras muchas cosas, como una introducción a la teoría del caos bastante interesante.

La parte variacional en cuestión está en el capítulo 13, y aunque no es del todo rigurosa, me parece bastante fácil de seguir, y con una notación adecuada. Una buena referencia para mirar esto.

**n0mad** · 18/02/2006 02:33

Iniciado por leach

Iniciado por MiGUi

No, digo la parte de cálculo variacional donde se deducen las ecuaciones de Euler-Lagrange. Si n0mad tiene dudas cuando pasa de S a dS seguro que el Goldstein le aclara algo

He estado mirando el Goldstein, y trae las cosas muy bien; ya no es lo mismo que en la vieja edición que tenia. También trae otras muchas cosas, como una introducción a la teoría del caos bastante interesante.

La parte variacional en cuestión está en el capítulo 13, y aunque no es del todo rigurosa, me parece bastante fácil de seguir, y con una notación adecuada. Una buena referencia para mirar esto.

Entonces ni te molestes. A no ser que te apetezca tratar el problema. Esta semana ire a la biblioteca y me llevare uno. Muchas gracias

**leach** · 18/02/2006 22:45

Voy a aprovechar que tengo un rato para escribir una demostración propia de las ecuaciones de Euler en el caso de un sistema continuo.

La idea es que en vez de un funcional como el del caso discreto:

$\int\, F\left(y(t),y'(t),t)\, \de t \$

tal que $y$ es sólo función de $t$ , lo que tenemos es un funcional:

$\int\cdots\int\, F\left(\phantom{\vert}y(x_0,x_1,\ldots,x_n), y_0(x_0,x_1\ldots,x_n),y_1(x_0,x_1\ldots,x_n),\ldo ts,y_n(x_0,\ldots,x_n),x_0,x_1,\ldots,x_n\right)\, \de x_0 \,\de x_1\,\cdots\, \de x_n$

donde

$y_k \quad = \quad \frac{\partial y}{\partial x_k}$

es decir, que es una situación análoga al caso de partículas, pero ahora nuestra función $y$ depende de varias coordenadas de integración, no sólo de una. Por eso la integral es múltiple.

Otras manera de escribirlo, más abreviadas, serían:

$\int\cdots\int\, F\left(y,y_0,y_1,\ldots,y_n,x_0,x_1,\ldots,x_n\rig ht) \de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n \quad =$

$\int\cdots\int\, F\left(y, \frac{\partial y}{\partial x_0}, \frac{\partial y}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial y}{\partial x_n},x_0,x_1,\ldots,x_n\right)\de x_0\,\de x_1\,\cdots\,\de x_n$

Entonces, nos interesa ver qué pasa cuando variamos levemente la función $y$ , es decir, cuando añadimos una pequeña perturbación $y+\delta y$ que no altera el comportamiento de la función $y$ en la frontera de la zona de integración (puesto que estamos en un problema variacional con frontera fija). Resulta, de manera evidente:

$F\left(y+\delta y,y_0 +\delta y_0,y_1+\delta y_1,\ldots,y_n+\delta y_n,x_0,x_1,\ldots,x_n\right) \quad =$

$ F\left(y,y_0,y_1,\ldots,y_n,x_0,x_1,\ldots,x_n\rig ht) \ + \ \frac{\partial F}{\partial y}\delta y\ +\ \frac{\partial F}{\partial y_1}\delta y_1 \ +\ \cdots\ +\ \frac{\partial F}{\partial y_n}\delta y_n$

Así pues, lo que ha variado dentro del integrando al hacer la pequeña perturbación es que aparece este término:

$\delta F \quad = \quad \frac{\partial F}{\partial y}\delta y\ +\ \frac{\partial F}{\partial y_1}\delta y_1 \ +\ \cdots\ +\ \frac{\partial F}{\partial y_n}\delta y_n \quad = \quad \frac{\partial F}{\partial y}\delta y \ + \ \frac{\partial F}{\partial y_k}\delta y_k $

En el último paso hemos usado la notación de Einstein para indicar sumas.

Si recordamos lo que se hacía en el caso de partículas, la idea era que el término que aparece en la forma de Einstein se integraba por partes. En nuestro caso tenemos:

$\delta\int\cdots\int F\,\de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n \quad = \quad \int\cdots \int\left( \frac{\partial F}{\partial y}\delta y \ + \ \frac{\partial F}{\partial y_k}\delta y_k \right)\, \de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n$

El equivalente al teorema fundamental del cálculo para integrales en varias dimensiones es el teorema de la divergencia de Gauss. La integración por partes es una adaptación directa del teorema fundamental del cálculo, basada en calcular la derivada de un producto.

Para construir la integral por partes en varias dimensiones, recordemos primero el teorema de Gauss, que dice que para un campo $\omega^k$ , tenemos que:

$\int_{\mathrm{S}}\, \omega\, \de S \quad = \quad \int_{\mathrm{V}}\, \mathrm{div}\omega\, \de V$

donde $\mathrm{V}$ es un volumen, y $\mathrm{S}$ su frontera. Es decir, el flujo de $\omega$ por el borde es igual a la integral de la divergencia en el volumen.

Ahora consideremos un campo de vectores $\omega$ que en coordenadas sea el producto:

$\omega^k \quad = \quad \frac{\partial F}{\partial y_k}\, \delta y$

entonces, su divergencia es:

$\mathrm{div}\, \omega \quad = \quad \frac{\partial\omega^k}{\partial x_k} \quad = \quad \frac{\partial}{\partial x_k}\left( \frac{\partial F}{\partial y_k}\, \delta y\right) \quad = \quad \frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k}\delta y \ + \ \frac{\partial F}{\partial y_k}\frac{\partial \delta y}{\partial x_k} \quad = \quad \frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k}\delta y \ + \ \frac{\partial F}{\partial y_k}\delta y_k $

Por tanto, tenemos la integración por partes en varias dimensiones:

$\int_{\mathrm{S}}\, \frac{\partial F}{\partial x_k}\, \delta y\, \de S \quad = \quad \int_{\mathrm{V}}\, \left(\frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k}\delta y \ + \ \frac{\partial F}{\partial y_k}\delta y_k\right)\, \de V$

simplemente despejando:

$\int_{\mathrm{S}}\, \frac{\partial F}{\partial x_k}\, \delta y\, \de S \; - \; \int_{\mathrm{V}}\, \frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k}\delta y\, \de V \quad = \quad \int_{\mathrm{V}}\,\frac{\partial F}{\partial y_k}\delta y_k\, \de V$

Esta fórmula es totalmente análoga a la integral por partes: la integral de una parte (la de la derecha) es igual a menos la integral de la otra parte más el flujo por la frontera.

Como en nuestro problema el valor de $\delta y$ en la frontera es cero, porque nuestra perturbación no cambia los valores frontera, tenemos que la fórmula se reduce a:

$-\,\int_{\mathrm{V}}\, \frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k}\delta y\, \de V \quad = \quad \int_{\mathrm{V}}\,\frac{\partial F}{\partial y_k}\delta y_k\, \de V$

Sustituyendo entonces en nuestro problema variacional, tenemos:

$\delta\int\cdots\int F\,\de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n \quad = \quad \int\cdots \int\left( \frac{\partial F}{\partial y}\delta y \ - \ \frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k}\delta y \right)\, \de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n \quad =$

$\int\cdots \int\left( \frac{\partial F}{\partial y}\ - \ \frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k} \right)\,\delta y\; \de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n$

Como $\delta y$ es arbitrario, con la única restricción en su valor nulo en la frontera, se deduce (en rigor, aplicando el lema fundamental del cálculo variacional) que lo que tiene que anularse idénticamente en esa integral para que la variación sea cero con idependiencia de $\delta y$ es:

$\frac{\partial F}{\partial y}\ - \ \frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k} \quad = \quad 0$

que es la ecuación de Euler para nuestro caso, y que a menudo se escribe:

$\frac{\partial F}{\partial y}\ - \ \frac{\de{}}{\de x_k}\frac{\partial F}{\partial y_k} \quad = \quad 0$

para dar a entender explícitamente que los $y_k$ dependen de las coordenadas $x_0,\ldots, x_n$ .

El cálculo me parece muy sencillo, aunque es en apariencia tremendamente extenso porque he aprovechado para justificar la integración por partes en varias coordenadas.

--------------

En el caso de que estés analizando varias funciones $y^1, y^2, \ldots, y^m$ en el mismo lagrangiano, si repites exactamente el proceso anterior, variando una de esas funciones cada vez, lo que obtienes es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales del tipo:

$\frac{\partial F}{\partial y^s}\ - \ \frac{\de{}}{\de x_k}\frac{\partial F}{\partial y^s_k} \quad = \quad 0$

para $s=1,2,\ldots, m$ .

Y la cosa no tiene mayor misterio, aunque parece bastante complicado hasta que uno se acostumbra a manejarlo.

Espero que esto te sirva para complementar lo que leas en el Goldstein.

**n0mad** · 18/02/2006 23:19

Vaya leach! Estupendo trabajo

. Creo que esto tiene un huequito en la miguipedia.

Puede explicarme alguien este paso:
$\delta\int\cdots\int F\,\de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n \quad = \quad \int\cdots \int\left( \frac{\partial F}{\partial y}\delta y \ - \ \frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k}\delta y \right)\, \de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n \quad =$
De donde sale el signo menos? :umm: algo me estoy saltando que no caigo. Muchas gracias

**jerus** · 19/02/2006 00:56

n0mad...

De esta:

$\delta\int\cdots\int F\,\de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n \quad = \quad \int\cdots \int\left( \frac{\partial F}{\partial y}\delta y \ + \ \frac{\partial F}{\partial y_k}\delta y_k \right)\, \de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n$

junto con esta:

$-\,\int_{\mathrm{V}}\, \frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k}\delta y\, \de V \quad = \quad \int_{\mathrm{V}}\,\frac{\partial F}{\partial y_k}\delta y_k\, \de V$

**n0mad** · 19/02/2006 00:59

Iniciado por jerus

n0mad...

De esta:

$\delta\int\cdots\int F\,\de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n \quad = \quad \int\cdots \int\left( \frac{\partial F}{\partial y}\delta y \ + \ \frac{\partial F}{\partial y_k}\delta y_k \right)\, \de x_0\,\de x_1\,\cdots\, \de x_n$

junto con esta:

$-\,\int_{\mathrm{V}}\, \frac{\partial ^2 F}{\partial x_k \partial y_k}\delta y\, \de V \quad = \quad \int_{\mathrm{V}}\,\frac{\partial F}{\partial y_k}\delta y_k\, \de V$

:ajam: Ahora me encaja, gracias! Hay veces que uno esta mas tonto de lo que acostumbra. :oops:

Tema: Lagrangiano relativista

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