aceleracion relativista

**mister i** · 22/03/2005 22:39

Hola a todos
Un libro que tengo sobre relatividad especial relaciona las velocidades segun el observador que se mueve en el eje x con velocidad v
si la velocidad u va por el eje x seria:
$u'=\frac{u-v}{1-uv/c^2}$
pero no aparece para el caso de la aceleración
La pregunta es:
Existe algo similar para la aceleración?
Es decir, supongamos que todas las velocidades, observadores y aceleraciones van por el eje x.
Tenemos un sistema S en reposo que observa una particula que acelera de u1 a u2 en un tiempo t (en el eje x): la aceleración serà a=(u2-u1)/t
Supongamos un sistema S' que se mueve siempre sin aceleracion con velocidad v (respecto S). Supongo que la aceleración medida por S' serà a'=(u2'-u1')/t'
donde u1', u2' y t' son las velocidades y el tiempo que dura la aceleración segun S'
entonces aplicando las relaciones
$u'_1=\frac{u_1-v}{1-u_1v/c^2}$
(igual para $u'_2$ )
$t'=t/\gamma$ )
(donde $\gamma$ es el factor de Lorentz)

substituyendo en a'=(u2'-u1')/t'
me sale una cosa bastante complicada para mi
¿esta hecho el cáculo que dé a' en función de a?

**leach** · 23/03/2005 00:03

Las aceleraciones en la dirección del movimiento se transforman según
$a' = \frac{a}{\gamma^3},$
y en una dirección perpendicular al movimiento según una ley
$a' = \frac{a}{\gamma^2}.$
donde
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$

La cosa sale más fácilmente si en vez de calcular (u2'-u1')/t' lo que haces es derivar respecto al tiempo: a' = dv'/dt'. Haciendo la derivada en la fórmula de composición de velocidades, queda la derivada de un cociente, y sustituyendo el tiempo según el sistema de referencia aparecen las diferentes leyes para la aceleración.

Saludos.

**MiGUi** · 23/03/2005 11:32

Esa es una cosa de la TRS que siempre me ha desconcertado, por que si se supone que ésta es válida en sistemas inerciales, tiene sentido considerar la aceleración? Por que si tienes una expresión para la aceleración en un sistema en reposo, en el sistema del cuerpo que acelera las transformaciones de Lorentz no son válidas, no?

**leach** · 23/03/2005 15:36

En la TRE hay claramente una asimetría:

1) Si estoy en un sistema inercial, entonces puedo observar aceleraciones en otros cuerpos.

2) Pero si estoy en un sistema no inercial, la TRE no me llega para hacer predicciones.

Es decir, que la cuestión de cómo se transforman aquellas aceleraciones que observamos en otros cuerpos está dentro de la TRE, pero el medir cosas tales como mi tiempo propio en un sistema acelerado está fuera de la TRE.

Para solventar 2) de alguna manera, se suele recurrir a un axioma extendido de la TRE:

Axioma: para sistemas no inerciales, las mediciones pueden hacerse tomando los valores que da la TRE en cada sistema inercial acompañante en un instante dado.

Este axioma suele darse por sentado, y mucha gente lo aplica sin saber que se sale de la TRE. Por ejemplo, para medir el tiempo propio en un sistema acelerado respecto a uno inercial, deberíamos calcular:

$T \quad = \quad \int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt$

donde $v$ es la velocidad observada para la partícula acelerada desde un sistema inercial fijo, y $t_{0},\, t_{1}$ es el intervalo de tiempo en que se observa la aceleración desde el sistema inercial. Esta definición es coherente con las transformaciones de Lorentz.

Este truco no es del todo satisfactorio, porque concede a la aceleración una naturaleza absoluta. Los sistemas inerciales siguen siendo equivalentes, pero los no inerciales se clasifican de manera absoluta respecto a la clase privilegiada de los sistemas inerciales. La Relatividad General viene a resolver esta escala de privilegios, pero no lo hace de manera totalmente satisfactoria, al no dar cuenta de aceleraciones que no se deban a la gravedad

. El problema de las aceleraciones es bastante envenenadillo.

La contracción de Lorentz del tiempo ha sido demostrada por la desintegración de partículas en aceleradores hace mucho tiempo. Siempre me he preguntado si esta fórmula de arriba para el tiempo propio ha sido contrastada con partículas inestables sujetas a aceleración. Tiene que haber sido así, pero en la bibliografía no he encontrado nada. ¿Alguien podría, si lo sabe, dar algún dato experimental sobre esa fórmula?

**mister i** · 23/03/2005 19:02

Iniciado por leach

Las aceleraciones en la dirección del movimiento se transforman según
$a' = \frac{a}{\gamma^3},$
y en una dirección perpendicular al movimiento según una ley
$a' = \frac{a}{\gamma^2}.$
donde
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$

La cosa sale más fácilmente si en vez de calcular (u2'-u1')/t' lo que haces es derivar respecto al tiempo: a' = dv'/dt'. Haciendo la derivada en la fórmula de composición de velocidades, queda la derivada de un cociente, y sustituyendo el tiempo según el sistema de referencia aparecen las diferentes leyes para la aceleración.

Saludos.

gracias leach, pero no me cuadra...
(editado)
perdón, leach, SI que me cuadra, he borrado lo que había

aprovecho para abusar un poco de ti y preguntar(te): como veo que solo depende del factor de Lorentz, ¿se puede generalizar el exponente de lorentz para qualquier angulo?

**leach** · 23/03/2005 22:00

Iniciado por mister i

gracias leach, pero no me cuadra...
segun esto para velocidades pequeñas v<<c entonces a'=a

:!:

: Es que para velocidades pequeñas se aplica la mecánica clásica, de manera que debe ser a' = a. La aceleración es un invariante de Galileo, ¿no?

Por otro lado, para velocidades grandes, a' tiende a cero, lo cual es correcto: como la velocidad está acotada superiormente por c, cuanto más rápido vaya un cuerpo, más pequeña tiene que percibirse su aceleración, o en otro caso rompería la barrera de la velocidad de la luz. La aceleración tiene que contraerse con la velocidad.

Iniciado por mister i

mira el siguiente ejemplo:
supon que tenemos un sistema S en reposo, en este sistema tenemos una bola A quieta...
por la izquierda viene una bola B en paralelo a 3 m/s de manera que justo en el instante que se cruza con A, A acelera a 2 m/s^2 durante solo 1 segundo. al cabo de un segundo pues alcanza una velocidad constante de 2 m/s.
Es decir a= 2 m/s2
en el intante t=1 A ha recorrido 1 m. ( $x=1/2at^2$ )y B 3 m.
y siguen rodando, A con velocidad 2 i B con velocidad 3

Ahora veamos el punto de vista del sistema inercial S' que acompaña a B
B ve que viene una bola por la derecha en paralelo a -3 m/s; justo cuando pasa por delante/detras suyo frena y al cabo de 2 metros (por la izquierda) se queda con velocida constante de -1 m/s2.
La aceleración que mide B es la siguiente (el tiempo de frenado es el mismo (1 sg), ya que no hay efectos relativistas):
aplicando
$x=1/2a't^2$
perdón, espera un momento que aquí falta vt...
$-2=a'/2$
$a'=-4 m/sg^2$
es decir a'=-2a (por lo que si no me he equivocado tu formula no seria válida)

Las fórmulas que usas, por ejemplo, que $x = 1/2 at^2$ son clásicas y no funcionan en cinemática relativista. Tomemos el Volumen 2 del "Curso de Física Teórica" de Landau y Lifshitz (no es mi favorito, pero es quizás el más famoso de los que tengo a mano). En el capítulo 1, sección 7, se dan de pasada las fórmulas covariantes de tetraaceleración. Quizás lo más interesante sea el problema en el que se determina el movimiento uniformemente acelerado (usando implícitamente el axioma que cité en un post anterior). El espacio recorrido en ese movimiento es:

$x\quad = \quad \frac{c^2}{a}\left(\sqrt{1+\frac{a^2t^2}{c^2}}-1\right)$

que para $at << c$ da la fórmula $1/2at^2$ que tú usaste... pero sólo en ese caso, y como aproximación. Como curiosidad, para el tiempo propio se obtiene:

$T\quad = \quad \frac{c}{a}\,\mathrm{argsh}\left(\frac{at}{c}\righ t).$

Iniciado por mister i

¿la has deducida tu o està también en libros?
quizas tu te referias a dos sistemas acelerados (pero esto ya seria relatividad general, no?), yo me referia en como aprecia un sistema inercial una aceleracion "normal y corriente"
saludos

La deduje yo, derivando la ley de composición de velocidades, pero ante tus dudas he mirado varios libros de los que tengo en casa. Las he comprobado en un viejo librote de física (Franeau, "Fisica", Vol. II, Relatividad/Mecánica Cuántica/Física Atómica/Física Nuclear), que es bastante anticuado pero las trae (Sexta Parte, Cap. II, fórmula 17). De todos modos, te diré cómo deduzco la fórmula para la aceleración:

Sea un sistema S' desde el que observamos un sistema S, que se mueve respecto a nosotros a una velocidad fija $\omega$ . Sabemos que:

$ \begin{array}{lll} v' & = & \frac{v + \omega}{1 + \frac{v\omega}{c^2}} \\ t' & = & \gamma t \\ \gamma & = & \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}} \end{array} $ .

Entonces,

$a' \ = \ \frac{dv'}{dt'} \ = \ \frac{1}{\gamma} \frac{d}{dt}\left( \frac{v + \omega}{1 + \frac{v\omega}{c^2}} \right) \ = \ \frac{1}{\gamma}\frac{a\left(1+\frac{v\omega}{c^2} \right) - (v+\omega)\frac{a\omega}{c^2}}{\left( 1 + \frac{v\omega}{c^2}\right)^2}.$

En esta expresión podemos hacer $v = 0$ si suponemos que la partícula acelerada que observamos está en reposo respecto al sistema S (lo cual es lo razonable, porque queremos comparar aceleraciones en S). En esas condiciones, la fórmula se simplifica a:

$a' \ = \ \frac{1}{\gamma}\frac{a - a\frac{\omega^2}{c^2}}{1} \ = \ \frac{1}{\gamma} a \left( 1 - \frac{\omega^2}{c^2}\right) \ = \ \frac{1}{\gamma^3}a.$

*arf* *arf* Menos mal que soy bastante aficionado a $\LaTeX$ , porque si no habría acabado loco a mitad del post. :zumbao: :zumbao:

La relatividad es bastante engañosa, y las cosas a menudo no son lo que parecen. En particular, muchas fórmulas familiares en la cinemática de Galileo no funcionan en absoluto.

Venga, duro con ello, y si tienes alguna duda, coméntamelo

.

**leach** · 23/03/2005 22:07

Iniciado por mister i

gracias leach, pero no me cuadra...
(editado)
perdón, leach, SI que me cuadra, he borrado lo que había

aprovecho para abusar un poco de ti y preguntar(te): como veo que solo depende del factor de Lorentz, ¿se puede generalizar el exponente de lorentz para qualquier angulo?

Uups. Esa edición llega un poquillo tarde.

No entiendo qué quieres decir con el ángulo y el exponente de Lorentz. Es una notación que no me resulta familiar. ¿Puedes explicarla, si tienes tiempo?

Saludos

**MiGUi** · 23/03/2005 22:25

Me he mantenido un poco al margen de esta discusión aunque la he ido siguiendo. No sé a vosotros, pero a mí cuando se me menta la aceleración dentro de la TRS se me erizan los pelos del cogote

por que como habéis dicho, esto puede conducir a paradojas muy extrañas. Por que si bien en un sistema externo podemos considerar aceleración, en un sistema propio no tiene sentido hacerlo.

Esto es una jodienda, desde mi punto de vista. Por que si llegas a una igualdad que te relacione a con a', nada te impide despejar una en función de la otra, y con eso puedes llegar a un resultado que es falso.

Por cierto leach se ve que tienes vicio en el asunto ;)

Saludos :hola:

**graviton** · 23/03/2005 22:36

Hola a todos, por culpa del trabajo no puedo seguir casi vuestro ritmo, pero me gustaría poner la forma en que lo he hecho yo, en el caso general en que el cuerpo que acelera está en movimiento según ambos sistemas. Se obtiene como bien ha dicho Leach derivando la transformada de la velocidad, sólo que en mi caso he usado la fórmula dada por Mister i, y con V como velocidad relativa (y no w):

$a' = \frac{du'}{dt'} = \frac{dt}{dt'} \frac{du'}{dt} = \frac{dt}{dt'} \frac{d}{dt}(\frac{u-v}{1- \frac{uv}{c^2} })$

Ahora hay que tener cuidado porque no creo que se deba usar
$\frac{dt}{dt'} = \gamma$
sería así cuando el cuerpo que acelera está en reposo en uno de los sistemas, pero en general no sirve, sino que hay que derivar la transformada de t'

$t' = \gamma (t-xv/c^2)$

$\frac{dt'}{dt} = \gamma (1- \frac{uv}{c^2})$

Con todo esto resulta la transformada de la aceleración (siempre la longitudinal):

$a' = \frac{a}{\gamma^3 (1- \frac{uv}{c^2})^3}$

(Y así la he visto en algún libro). Como se puede ver cuando $u=0$ resulta la fórmula que daba Leach al principio (y final):

$a' = \frac{a}{\gamma^3}$

La recíproca es:

$a = \frac{a'}{\gamma^3 (1+ \frac{uv}{c^2})^3}$

***************************

La contracción de Lorentz del tiempo ha sido demostrada por la desintegración de partículas en aceleradores hace mucho tiempo. Siempre me he preguntado si esta fórmula de arriba para el tiempo propio ha sido contrastada con partículas inestables sujetas a aceleración. Tiene que haber sido así, pero en la bibliografía no he encontrado nada. ¿Alguien podría, si lo sabe, dar algún dato experimental sobre esa fórmula?

¿En los aceleradores no se está demostrando precisamente esa fórmula y no la dilatación simple (ya que las partículas están contínuamente siendo aceleradas)?

***************************
Mister i, en tu último problema, lo que veo es que la bola A no es inercial, una cosa es lo que mide S y otra lo que mide A. Pero no he analizado bien la cosa.

**mister i** · 23/03/2005 23:52

Iniciado por leach

Iniciado por mister i

gracias leach, pero no me cuadra...
(editado)
perdón, leach, SI que me cuadra, he borrado lo que había

aprovecho para abusar un poco de ti y preguntar(te): como veo que solo depende del factor de Lorentz, ¿se puede generalizar el exponente de lorentz para qualquier angulo?

Uups. Esa edición llega un poquillo tarde.

No entiendo qué quieres decir con el ángulo y el exponente de Lorentz. Es una notación que no me resulta familiar. ¿Puedes explicarla, si tienes tiempo?

Saludos

Cometí un error porque desde el punto de vista de B la particula A tiene una velocidad inicial cuado empieza la aceleracion y no parte del reposo... y luego efectivamente las aceleraciones coinciden.

con lo del angulo queria decir que si para
$\phi=0....tenemos... a/\gamma^3$
(por cierto, como se pone un espacio en blanco en Latex?)
$\phi=\pi/2....tenemos... a/\gamma^2$
igual podria ser algo parecido a:
$... a/\gamma^{2+cos\phi}$
(me lo he inventado)

Tema: aceleracion relativista

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