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Tema: Series. Convergencia/divergencia absoluta/condicional

  1. #1
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    Series. Convergencia/divergencia absoluta/condicional

    holaaa

    es una duda puramente de nombre:

    si tenemos una serie de terminos positivos, y sabemos que converge por cualquiera de los criterios (D'Alembert,Raable,Cauchy-Raiz...) esa serie, si me piden que escriba su caracter, diría ¿ convergente ? o ¿ absolutamente convergente ?

    porque claro, entonces , todas las series de terminos positivos convergentes , serian absolutamente convergentes...

    ahora, si tengo una serie alternada o directamente una serie, al estudiar la modular, osea el termino general en valor absoluto, si esta es convergente tendria que es la serie absolutamente convergente.

    si es divergente la modular, seria convergente condicional ¿ no ?

    es que esto es liosisimo, simplemente es cuando se pone absolutamente convergente o condicionalmente convergente y en que tipo de series...


    espero que no sea muy lioso lo que he puesto


    gracias

  2. #2
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    Re: Series. Convergencia/divergencia absoluta/condicional

    Hola.

    Ateniéndonos a la definición, una serie se dice convergente si y sólo si existe el límite:



    y se dice absolutamente convergente si y sólo si existe el límite:



    Teniendo esto en cuenta, apliquemos la definición a cada una de tus preguntas.

    Cita Iniciado por Bluessly
    si tenemos una serie de terminos positivos, y sabemos que converge por cualquiera de los criterios (D'Alembert,Raable,Cauchy-Raiz...) esa serie, si me piden que escriba su caracter, diría ¿ convergente ? o ¿ absolutamente convergente ?
    Si tu serie es de términos positivos (o en general no negativos), tenemos que para todo se cumple que . Por tanto, tenemos el hecho trivial:



    puesto que ambas expresiones son idénticas. Así pues, tenemos que:

    Una serie de términos positivos (no negativos) es convergente si y sólo si es absolutamente convergente.

    Es decir, que probado un tipo de convergencia, el otro es inmediatamente cierto.

    Cita Iniciado por Bluessly
    porque claro, entonces , todas las series de terminos positivos convergentes , serian absolutamente convergentes...
    Totalmente cierto.

    Cita Iniciado por Bluessly
    ahora, si tengo una serie alternada o directamente una serie, al estudiar la modular, osea el termino general en valor absoluto, si esta es convergente tendria que es la serie absolutamente convergente.
    Si la serie modular es convergente, entonces la serie que estás estudiando es absolutamente convergente. Eso es la definición de convergencia absoluta.

    Cita Iniciado por Bluessly
    si es divergente la modular, seria convergente condicional ¿ no ?
    No necesariamente. Si una serie no es absolutamente convergente, todavía puede ser condicionalmente convergente, pero no necesariamente.

    Veamos tres ejemplos:

    1) Tomemos la serie . Esta serie es muy famosa, y es convergente a . Sin embargo no es absolutamente convergente, puesto que la serie es divergente.

    2)Tomemos la serie . Esta serie se puede probar que es convergente a . Además, su serie modular, es también convergente a .

    3)Tomemos la serie . Esta serie es divergente, y también lo es la modular: .

    La regla de oro es por tanto: si tu serie es absolutamente convergente, entonces también es condicionalmente convergente. Sin embargo, si tu serie no es absolutamente convergente, puede ser condicionalmente convergente o no.

    Cita Iniciado por Bluessly
    es que esto es liosisimo, simplemente es cuando se pone absolutamente convergente o condicionalmente convergente y en que tipo de series...
    Una buena idea es considerar que la convergencia absoluta es una condición de convergencia fuerte, que te permite decidir rápidamente cuándo una serie es convergente. Esto se debe a que la convergencia absoluta implica convergencia condicional. Por tanto, es buena idea tratar de comprobar primero la convergencia absoluta: suele ser cómoda de comprobar, porque no intervienen signos.

    Si no hay convergencia absoluta, eso en general no quiere decir que tu serie no sea convergente. Si tu serie tiene tanto términos positivos como negativos, existe una posibilidad de que sea convergente, y por tanto tendrás que hacer comprobaciones adicionales.

    Existen criterios bastante generales para saber cuándo una serie que no es absolutamente convergente es condicionalmente convergente. La regla más usual es que tu serie tenga signos alternados (postivo-negativo-positivo-negativo...) y que su término general sea estrictamente decreciente en valor absoluto. No estoy seguro de que te puedan preguntar tal cosa en un examen, pero siempre es buena cosa tenerlo en cuenta.

    Este tipo de problemas se dominan con facilidad si controlas bien las definiciones, y las aplicas con calma y de forma metódica. Sólo una vez que tienes bastante práctica puedes permitirte correr, o saltarte pasos.

    Y gwir yn erbyn y byd.

  3. #3
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    Series. Convergencia/divergencia absoluta/condicional

    A ver

    Tenemos una serie, como sea, tanto de terminos negativos como positivos, alternada a o no. Entonces:

    convergencia absoluta

    si Converge, es absolutamente convergente.


    si diverge, es absolutamente divergente.


    1.-osea que tengo que estudiar la modular, que seria una serie de terminos positivos, y aqui aplicaria los criterios tipicos de Cauchy Raiz,D'Alambert,Raable,Comparacion asintotica (con el limite del cociente entre dos sucesiones)... etc

    Entonces una serie absolutamente convergente, sera convergente, pero el recíproco es falso, ¿ no ?

    Si fueran series alternadas, aplicaria el Criterio de Leibniz, que es que sea la serie decreciente en valor absoluto termino a termino y que


    Voy a intentar hacer una tabla, y me decis lo que hago mal, porque ya me molesta no enterarme del caracter de las series sabiendo operarlas y sumarlas , que es lo complicado ( al menos para mi):

    ********************************
    ********************************

    A. Absolutamente Convergente Convergente

    B. Convergente ( lo sabria por C.Leibniz si fuera alternada y decreciente, o si fuera de terminos positivos por cualquier Criterio tipo Raiz-Cociente) y Divergente seria Condicionalmente Convergente.

    Entonces:

    1.Si tengo una serie alternada, primero, compruebo por el C.Leibniz ( que sea el limite del termino general 0 y la serie decreciente en valor absoluto) que es convergente.

    2.Si no se alterna el signo en la serie, luego no es alternada, y consta de terminos tanto positivos y negativos, solo podria aplicar el Criterio Termino General de la Divergencia, que es que el termino gral. de la serie tiende a 0., osea:

    Serie que es Divergente

    No existe Serie que es Divergente

    Aunque puede ser y luego ser divergente, ya que es condicion necesaria pero no suficiente que el limite valga 0.

    Entonces, la gran pregunta es: si la modular es Divergente, ¿ como estudio la serie ? ¿ que hago ?

    Leach, muchas gracias, que me respondes siempre tu jaajaj :oops:

    de series me preguntan todo.

    graciasss

  4. #4
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    Series. Convergencia/divergencia absoluta/condicional

    no tiene mucha importancia xq seguro q lo sabes y t habras ekivokado x las prisas y demás, pero la serie de termino general ((-1)^n)/n converge a ln 2
    "Un matemático que no es también algo de poeta nunca será un matemático completo" Karl Weierstrass

  5. #5
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    Series. Convergencia/divergencia absoluta/condicional

    Cita Iniciado por Bluessly
    A ver

    Tenemos una serie, como sea, tanto de terminos negativos como positivos, alternada a o no. Entonces:

    convergencia absoluta

    si Converge, es absolutamente convergente.


    si diverge, es absolutamente divergente.

    1.-osea que tengo que estudiar la modular, que seria una serie de terminos positivos, y aqui aplicaria los criterios tipicos de Cauchy Raiz,D'Alambert,Raable,Comparacion asintotica (con el limite del cociente entre dos sucesiones)... etc

    Entonces una serie absolutamente convergente, sera convergente, pero el recíproco es falso, ¿ no ?
    Exactamente: si la convergencia es absoluta te ha tocado el premio, porque habrá convergencia no importa los signos que tenga la serie de partida. Pero si no hay convergencia absoluta, todavía puede haber convergencia.

    Cita Iniciado por Bluessly
    Si fueran series alternadas, aplicaria el Criterio de Leibniz, que es que sea la serie decreciente en valor absoluto termino a termino y que
    Exactamente, es un buen criterio para la convergencia condicional, muy general.

    Cita Iniciado por Bluessly
    Voy a intentar hacer una tabla, y me decis lo que hago mal, porque ya me molesta no enterarme del caracter de las series sabiendo operarlas y sumarlas , que es lo complicado ( al menos para mi):

    ********************************
    ********************************

    A. Absolutamente Convergente Convergente

    B. Convergente ( lo sabria por C.Leibniz si fuera alternada y decreciente, o si fuera de terminos positivos por cualquier Criterio tipo Raiz-Cociente) y Divergente seria Condicionalmente Convergente.
    Estas son las definiciones, y están formuladas de forma esencialmente correcta.

    Entonces:

    Cita Iniciado por Bluessly
    1.Si tengo una serie alternada, primero, compruebo por el C.Leibniz ( que sea el limite del termino general 0 y la serie decreciente en valor absoluto) que es convergente.
    Es buena idea empezar por este paso, porque en series alternadas es lo más probable.

    Cita Iniciado por Bluessly
    2.Si no se alterna el signo en la serie, luego no es alternada, y consta de terminos tanto positivos y negativos, solo podria aplicar el Criterio Termino General de la Divergencia, que es que el termino gral. de la serie tiende a 0., osea:

    Serie que es Divergente

    No existe Serie que es Divergente
    La segunda condición es falsa. El límite de puede existir, e incluso puede ser igual a cero, y la serie puede ser divergente. Ya sé que sabes esto perfectamente (es lo siguiente que escribes en tu post), pero esa condición que has escrito arriba es falsa.

    La manera correcta de decir lo que pretendías es:

    distinto de cero La serie que es Divergente.

    Tus fallos al redactar esta condición fueron dos:

    1) La condición no es que el límite no exista, sino que el límite sea distinto de cero.

    2) Esta proposición no da una equivalencia (es decir, un , en notación lógica), sino un condicional (un en notación lógica). Ante la duda, es mejor usar palabras como "entonces" y "si y sólo si" antes que y , respectivamente. Es más fácil de leer, y evita confusiones al escribir y formular las cosas.

    Cita Iniciado por Bluessly
    Aunque puede ser y luego ser divergente, ya que es condicion necesaria pero no suficiente que el limite valga 0.
    Totalmente correcto.

    Cita Iniciado por Bluessly
    Entonces, la gran pregunta es: si la modular es Divergente, ¿ como estudio la serie ? ¿ que hago ?
    Bueno, supongamos que la modular es divergente. Supongamos que el término general de tu sucesión tiende a cero. Supongamos que no puedes aplicar el criterio de Leibnitz. Esta es una situación bastante negra, y que por lo general no se te dará en un curso de introducción al análisis.

    1) Hacer una revisión sistemática de todos los cálculos previos. ¿Me habré equivocado al aplicar alguno de los criterios, y por eso he llegado a esta situación? Esto pasa más a menudo de lo que uno cree :s: .

    2) Si los cálculos están bien hechos, entonces revisa la serie a ver si tiene truco. Esto es difícil de formular, pero a menudo una serie puede ser trivial de sumar y no parecerlo. Algo parecido a las series telescópicas. Luego intenta sumar a mano algunos de los primeros términos, a ver qué pasa. Es muy poco probable que una serie infinita alternada sea de este tipo, pero conviene considerar la idea, por si acaso.

    3) Existen criterios fuertes para la convergencia condicional, pero ninguno con el que quieras castigar tu cabeza a este nivel. Por lo general, si llegas a este punto, es que todo vale. Lo típico es intentar relacionar tu serie con una serie de potencias (en cuyo caso estará muy posiblemente en el borde del disco de convergencia), o con una serie de Fourier. También puedes intentar otras muchas cosas, pero ninguna de ellas ortodoxa.

    En fin, lo más probable es que no lleges al caso de tener que comprobar convergencia condicional extraña. Si tienes dudas, consíguete una colección de exámenes de los años pasados, y resuelve todos los ejercicios que puedas. Cuando yo estaba en primero, circulaban colecciones de exámenes de análisis con centenares de ejercicios, desde los años 60 en adelante :shock: . En ese tipo de exámenes, sobre todo en los más actuales, puedes predecir qué tipo de ejercicios te van a poner. Los profesores de análisis son por lo general predecibles en el tipo de problemas que ponen (salvo que haya cambio de profesor ese año, en cuyo caso la cosa es impredecible).

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    Cita Iniciado por jordi
    no tiene mucha importancia xq seguro q lo sabes y t habras ekivokado x las prisas y demás, pero la serie de termino general ((-1)^n)/n converge a ln 2
    Correcto, estaba pensando en la serie . Se agradece la corrección :D .
    Y gwir yn erbyn y byd.

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