Una de estado sólido

[Ontureño]

Tengo que hacer un programa para calcular estrucura de bandas, y necesito calcular el factor de estructura de la red FCC de Aluminio. Éste viene definido por



donde me dicen que son las posiciones de los átomos en la celda unidad. Esto no lo entiendo: si en la celda unidad sólo hay un átomo, ¿no?.

Se supone que los vectores G son los de la red recíproca de la FCC:



con y






Mi pregunta se puede resumir como....¿qué coño son los en realidad?

Si os aburrís mucho, podéis ver la explicación completa aquí.

[Kondor]

donde me dicen que son las posiciones de los átomos en la celda unidad. Esto no lo entiendo: si en la celda unidad sólo hay un átomo, ¿no?.

Bueno, no soy experto en la materia, pero supongo que se referira a la estructura cristalina basica del aluminio, que seria la celda unidad...recuerdo de geologia que las habia cubicas, tetragonal, romboedrica...esta wé a lo mejor tayuda:

http://www.unalmed.edu.co/~cpgarcia/geomet.pdf

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Edito: eci, que la pieza fundamental de la cristalizacion tiene varios atomos, entonces la distancia entre los atomos se refiere precisamente entre los atomos de la celda unidad de la cristalizacion del aluminio (en este caso)

[leach]

Je,je. Mejor todavía es preguntar a Mr. Google por "structure factor"+fcc , lo que nos da:

http://www.physics.brocku.ca/courses...hap2lect3c.pdf

De acuerdo con este documento, el cristal tipo FCC tiene 4 átomos por celda, y su factor de estructura es:



Esto se debe a que los átomos están, respecto a la celda, en las posiciones:









Es decir, si no me equivoco los cuatro átomos forman un tetraedro.

En fin, en ese documento viene hecho el cálculo, con una especie de pseudodemostración, dibujos y demás. Me parece que adaptando las constantes del cristal a tu caso (que depende de un término ), tienes la cosa hecha.

[Lurker]

Una red FCC es una estructura de cubos con atomos en las caras y en los vertices de la bases. Dentro del cubo queda medio atomo por cada cara y un octavo de cada atomo de los vertices , por tanto 6(1/2) +8(1/ = 4 atomos.

[Ontureño]

Vale, no sé lo que son los v's, pero creo que ahora nada más me ponga con un papel lo voy a ver. Ya entiendo, es que puedes con siderar la FCC como una red de Bravais sin base o como una red simple cúbica con la base, que es esa que pone en el documento, y que son los d's.

[Ontureño]

Joder, y lo que me ha costao reproducir ese resultado . Si esque estos del curso no sólo no explican, sino que en la página web donde explican los ejercicios está plagada de erratas . Los vectores de la red recíproca que propone están mal, la red recíproca es una simple cúbica, ya que estamos considerando que la FCC lo es también con una base. Además, dice que FCC tiene de base (0,0,0) y a(¼, ¼, ¼ ) cuando eso es justo una BCC.

Como si no tuviera bastante con haber dao una mierda de estado sólido con un capullo para encontrarme ahora con otros que continuan su obra... :x

[trinitro]

Claro.. hombre, en la celda unidad pueden haber más de un átomo, es aquella que repitiéndola por traslación en cualquier dirección una unidad puedes reconstruir y reproducir todo el cristal. Por lo tanto, como te han dicho, en la FCC tendrás 4 átomos con lo cuál 4 posiciones son las que te dice leach cuando coges cualquier átomo (y le asignas el 0,0,0) y el resto de posiciones son las 3 más cercanas en la misma celda unidad.

[Lurker]

Mejor busca un libraco que se llama algo asi como "teoria de grupos aplicado a la quimica" por Cotton. Cotton es un inorganico famoso que aparte de descubrir cosillas escribe "biblias" para quimicos. Las simetrias posibles para la colocacion de los atomos en una celda tienen estructura de grupo, por lo que puedes hacer homomorfismos con matrices o vectores. Si un matematico se pusiera a fondo con eso se podria sacar algo intersante. Los cuatro vectores en R3 que sacas de la estructura cubica centrada en las caras son simplemente cuatro vectores linealmente independientes que son la base canonica del grupo en R3. Para explicar mas tendria que consultar el necronomicon y me da un poco de pereza.

[Ontureño]

en la FCC tendrás 4 átomos

Ya, pero eso es porque (y eso era lo que no entendía anoche) estamos considerando la FCC como una simple cúbica + base.

Es que yo veía la FCC con una red de Bravais en sí, que lo es, y por tanto no tiene base, ni cabe hablar de factor de estructura. Por tanto no entendía de donde salía el factor de estructura.

Es cuestión de enfoque .

Mejor busca un libraco que se llama algo asi como "teoria de grupos aplicado a la quimica" por Cotton

Pfff, te agradezco la idea, pero...no sé yo si tengo tantas ganas de profudizar en el tema :( .

[leach]

Las simetrias posibles para la colocacion de los atomos en una celda tienen estructura de grupo, por lo que puedes hacer homomorfismos con matrices o vectores. Si un matematico se pusiera a fondo con eso se podria sacar algo intersante. Los cuatro vectores en R3 que sacas de la estructura cubica centrada en las caras son simplemente cuatro vectores linealmente independientes que son la base canonica del grupo en R3. Para explicar mas tendria que consultar el necronomicon y me da un poco de pereza.

Los matemáticos tienen los grupos cristalográficos más fichados que la policía al manitas de uranio. Lo que pasa es que nuestras notaciones son absolutamente distintas, y tampoco quiero aumentar la confusión ajena.

Por ejemplo, si he entendido bien el problema, a la red FCC la llamamos y está asociada a un diagrama de Dynkin triangular, de manera que su grupo de simetrías es el cociente del grupo libre de tres elementos por las relaciones:



si mis nociones de teoría de grupos de Coxeter no me engañan.

Los cuatro átomos formando un tetraedro son lo que en matemáticas llamamos un "recinto fundamental" o "alcove", y en nuestra curiosa notación, la red cristalográfica estaría representada por una cosa llamada "diagrama de Stiefel".

Los invariantes puramente rotacionales en una red cristalográfica FCC están asociados al grupo de permutaciones , y en su versión polinómica son sumamente notables por ser algebraicamente independientes, lo cual tiene unas oscuras relaciones con la existencia de formas canónicas para estructuras algebraicas simétricas por la acción de un grupo: por ejemplo, el hecho de que al diagonalizar una matriz hermítica en obtengas una única matriz diagonal, salvo permutación de sus tres autovalores, es consecuencia directa de la existencia de una red cristalina FCC subyacente.

En fin, a lo que me refiero es que a bastantes matemáticos se nos salen los cristalitos por las orejas. Sin embargo las notaciones de los físicos me desconciertan por su carácter poco sistemático y confuso, y la verdad es que todavía no he conseguido entender muy bien lo que se quiere hacer en ese ejercicio. Como en física no es muy normal estudiar cristales en n-dimensiones, las clasificaciones de las redes cristalinas son al parecer completamente ad-hoc, en vez de estar estructuradas en familias bien caracterizadas. Es una pena.