Me gustaría saber qué es le vector de Runge-Lenz, por que en algunos libros te lo introducen sin indicar realmente qué es i por qué se define como lo hace.
Gracias
Me gustaría saber qué es le vector de Runge-Lenz, por que en algunos libros te lo introducen sin indicar realmente qué es i por qué se define como lo hace.
Gracias
No lo había oído antes, no obstante, Google it!
http://www.uam.es/departamentos/cien...unge-lenz.html
Administrador del Foro | Links de Interés: Reglas del Foro | E-mail de contacto.
Twitter: @miguidotcom | Blog: MiGUi - Ciencia y Cultura
Progress, what is it? Out here, progress is numbers. Millimeters, kilometers, head counts, death tolls, this is progress. Colonies burned, ships destroyed, money earned. It all comes at a price, and if the price is right, I'll set the universe on fire.
Ja ja, muy bueno el titulo... :D
Bueno, el que conozco es el vector de Lenz en el campo central, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, y para el problema de uno o dos cuerpos. Vamos, que conozco el vector de Lenz para el campo gravitatorio central de uno/dos cuerpos. Posiblemente te refieres a ese, aunque nunca lo había visto relacionado con Runge.
Lo interesante del vector de Lenz es que se conserva, así que representa lo que se llama una simetría oculta del campo gravitatorio central. Esta simetría, por lo que sé, es muy específica de este caso, y ahí está lo interesante. En general, consideremos el hamiltoniano del campo gravitatorio central en n dimensiones (usualmente n=3, claro):
donde hemos igualado a 1 varias constantes para ahorrar complicaciones. La conservación del momento angular, por ejemplo, se expresa diciendo que es invariante el tensor antisimétrico:
Usando el formalismo de corchetes de Poisson, es sencillo demostrar que para todos i,j tienes:
Bueno, pues lo interesante es que además de esta simetría, que es bien conocida, existe otra, la del vector de Lenz, definido:
No es uno de los grandes placeres de la vida, precisamente, demostrar que:
pero puede hacerse. En general, también se cumplen las relaciones de conmutacion:
Como estas relaciones son válidas para cualquier campo central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, funcionan con el átomo de hidrógeno. Además, son directamente cuantificables. Si pasas estas relaciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, la energía total queda fija, y las relaciones de conmutación para las cantidadesde arriba dan lugar a tres casos diferentes, según la energía sea positiva, negativa o cero. En el caso negativo (estados ligados), las relaciones de conmutación son las del grupo compacto SO(4). En el caso positivo (estados no ligados), las relaciones de conmutación son las del grupo de Lorentz, semisimple no compacto. Y en el caso de energía nula, tenemos conmutación completa.
Si esto te parece un rollo, creo que tienes razón. El vector de Lenz es tratable de manera totalmente clásica. Echaré una mirada al Goldstein a ver si dice algo al respecto.
Edit: Bueno, mientras escribía esto Miguel daba con una forma clásica del vector de Lenz. Creo que si estás interesado en una introducción a la materia, es mejor que mi diatriba de arriba.
Y gwir yn erbyn y byd.
Sólo añadir que creo que tienes una buena explicación en el Goldstein, capítulo de fuerzas centrales.
Permisos de publicación
Citar
