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Elemento absorbente, producto vacío y posibilidad de demostración
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Tema: Elemento absorbente, producto vacío y posibilidad de demostración

  1. #1
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    Elemento absorbente, producto vacío y posibilidad de demostración

    Como todos sabemos, el elemento absorbente del producto es el cero, también sabemos que el producto vacío es uno, mi pregunta es, con estos postulados se puede demostrar que 0*1 es igual a 0*2, porque yo llego a contradicciones que me indican que esa premisa es falsa, es decir, que de alguna manera no son iguales, o sea que no podemos considerar al cero como un elemento de no acción. Creo que hay algunas fallas dentro del sistema axiomático, diría que como alguna incompatibilidad, a ver si me lo podéis aclarar. ¿Cómo se puede demostrar que 0*1 es igual a 0*2?

  2. #2
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    Hola, Baikonur

    Puede que exista alguna falla dentro del sistema axiomático, pero con toda seguridad no está en lo que tú estás haciendo. Asumo que estamos trabajando en un anillo. Es fácil demostrar, usando las propiedades de las operaciones en un anillo, que todo elemento del anillo multiplicado por el neutro de la suma es igual al neutro de la suma; he aquí la prueba paso a paso:



    Así, en cualquier anillo, en donde podamos hablar de 0,1,2 y 0 sea el neutro de la suma se tiene que 0*1=0=0*2.

    Ahora bien, con esto

    también sabemos que el producto vacío es uno,


    no podemos considerar al cero como un elemento de no acción
    no sé a qué te refieres.

    Nota; el código LaTeX para producir el resultado de la demostración anterior (en caso que a alguien le interese):

    Código:
    \documentclass{article}
    \usepackage[T1]{fontenc}
    \usepackage[utf8]{inputenc}
    \usepackage[spanish]{babel}
    \usepackage{amsmath}
    \usepackage{amsthm}
    
    
    \newtheorem{theo}{Teorema}
    \newcommand\mitexto[1]{&&\text{(#1)}}
    
    
    \begin{document}
    
    
    \begin{theo}
    Si $(R,+,\ast)$ es un anillo y $0$ es el neutro para la suma, entonces $a\ast 0 = 0\ast a=0$, para todo $a\in R$.
    \end{theo}
    \begin{proof}
    Sea $a$ cualquier elemento de $R$; entonces
    \begin{align*}
    a\ast 0 &= a\ast (0 + 0)\mitexto{pues $0=0+0$.}\\
    &= a\ast 0 + a\ast 0\mitexto{por la ley distributiva.}\\
    \end{align*}
    Tenemos así que $a\ast 0 = a\ast 0 + a\ast 0$ y, sumanda a mabos lados el inverso aditivo de $a\ast 0$, obtenemos
    \begin{align*}
     0 &= -(a\ast 0) + a\ast 0 = -(a\ast 0) + (a\ast 0 + a\ast 0)\mitexto{0 es el neutro de la suma.}\\
    &= (-(a\ast 0) + (a\ast 0)) + a\ast 0\mitexto{la suma es asociativa.}\\
    &= 0 + (a\ast 0) \\
    &= a\ast 0.\mitexto{0 es el neutro de la suma.}
    \end{align*}
    De manera completamente análoga se demuestra que $0\ast a = 0$, para todo elemento $a\in R$.
    \end{proof}
    
    
    \end{document}

  3. #3
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    Pero es que a mi me da indefectiblemente, debido a que el producto vacío es siempre uno y que además el cero es el elemento absorbente, que 0/0=1, y no una indeterminación, entonces en ningún caso 0/0 puede ser igual a 2, ni a cualquier otro número, esto es, 0*1 es diferente a 0*2, o sea, 0=/ 0 +0. ¿Entonces que es lo que falla? si lo tuyo esta bien lo mío está mal y viceversa

    (=/, es un símbolo que significa, diferente a)

  4. #4
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    debido a que el producto vacío es siempre uno
    ¿Esto qué significa? Explícalo de manera precisa, por favor.

    Cita Iniciado por Baikonur Ver mensaje
    que 0/0=1, y no una indeterminación
    No; en todo anillo el cero (el neutro de la suma) no tiene inverso para el producto; no tiene sentido siquiera intentar definirlo.


    Cita Iniciado por Baikonur Ver mensaje
    ¿Entonces que es lo que falla? si lo tuyo esta bien lo mío está mal y viceversa
    Como dije antes, lo que falla es intentar asignar un inverso multiplicativo al cero de una anillo.

  5. #5
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    Solo para matizar una afirmación anterior: solo en un caso el neutro para la suma tiene inverso multiplicativo en un anillo y es el caso del anillo trivial ; claramente, este caso no presenta interés alguno.

  6. #6
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    Lo que comentaba con respecto al producto vacío es la aparente contradicción que se produce cuando se conjuga con el elemento absorbente, ya que el elemento absorbente es incapaz de absorber el 1, ya que precisamente uno es el producto vacío, en consecuencia 0/0 parece ser siempre 1 y no otra cosa, luego 0*2 tampoco tiene demasiado sentido.
    También es evidente que con los postulados y axiomas actuales definir un inverso multiplicativo al cero es imposible, como dices, pero incluso se puede pensar que lo que pasa es que el cero es un número no definido matemáticamente.

  7. #7
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    Lo que comentaba con respecto al producto vacío es la aparente contradicción que se produce cuando se conjuga con el elemento absorbente, ya que el elemento absorbente es incapaz de absorber el 1, ya que precisamente uno es el producto vacío
    Sigo sin entender (y tú sigues sin explicar) qué quieres decir con eso del "producto vacío"


    Cita Iniciado por Baikonur Ver mensaje
    en consecuencia 0/0 parece ser siempre 1 y no otra cosa, luego 0*2 tampoco tiene demasiado sentido.
    ¡Cuidado! Lo que no tiene sentido es considerar 0/0.

    Cita Iniciado por Baikonur Ver mensaje
    pero incluso se puede pensar que lo que pasa es que el cero es un número no definido matemáticamente.
    El cero está claramente determinado, bien sea en las construcciones genéticas o en las axiomatizaciones de los sistemas numéricos.

  8. #8
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    No soy muy ducho en Álgebra, pero ¿no podría ser que el anillo no fuera un dominio íntegro, dónde si podemos encontrar divisores para el cero? Espero no haber dicho una barbaridad

  9. #9
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    No soy muy ducho en Álgebra, pero ¿no podría ser que el anillo no fuera un dominio íntegro, dónde si podemos encontrar divisores para el cero? Espero no haber dicho una barbaridad
    Que el anillo tenga divisores de cero y que el cero tenga inverso para el producto son dos cosas muy diferentes; la segunda, salvo en el caso trivial, no tiene sentido; la primera, en cambio, es común.

  10. #10
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    No sé exactamente qué es un anillo o un cuerpo, pero creo que el problema está en considerar al cero como un elemento absorbente, en ese sentido si definimos el inverso multiplicativo del cero, automáticamente tenemos un problema, ya que esa operación daría 1, y nos encontraríamos con que el cero ha desaparecido, claro! el cero no podría absorber a su inverso multiplicativo y que todo siga estando igual, tendríamos la situación en que el cero no estaría definido matemáticamente ya que su inverso multiplicativo lo habría "destruido", por eso pienso que con estos postulados o axiomas intentar definirlo es una pérdida de tiempo, sin embargo si cambiamos algunas cosas, es posible llegar un poco más; para mi el cero se define como 0*1, como cualquier otro número, ya que el cero no puede absorber al UNO, ya que el UNO es el PRODUCTO VACÍO, de ahí saco que 0/0 sólo puede ser UNO, asimismo para definir la operación habría que entrar dentro de los alephs o incluso dentro de los números hiperreales, y eso de momento excede mi propósito, un terreno éste casi inexplorado.

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