A ver, te expondré detalladamente lo que yo entiendo, porque esto orbita en torno a la cuestión de los operadores en las imágenes de Schrödinger, Heisenberg y de interacción. Creo que sabes por qué estás en lo cierto, pero si no me equivoco te falta por entender algo (o bien lo entiendes y no lo has dicho, así que me curro un poco la parrafadita por si alguien viene con la misma pregunta y lo lee más tarde).
Sea 
el operador en imagen de Schrödinger (e.d., carente de dependencias explícitas con el tiempo), entonces
es la expresión de este mismo operador en imagen de Heisenberg, donde (admitiendo de manera general que el hamiltoniano sí pueda depender explícitamente del tiempo)
es el propagador (operador de evolución temporal) del sistema cuántico completo que uno esté considerando, siendo )
el hamiltoniano completo.
Que el hamiltoniano dependa del tiempo y entre en la "exponencial" no es nada bueno: Se escribe el operador de evolución temporal de esa forma porque a uno le gustaría trabajar en una base de autoestados del hamiltoniano. En realidad, el operador de evolución temporal de un instante inicial t0 a uno final t es bastante más complicado de lo que parece a simple vista, puesto que no es una exponencial ordenada, sino una exponencial "ordenada en el tiempo":
Si 
no depende explícitamente de 
, esta expresión se simplifica enormemente porque el resultado de las integrales son triviales, y además con generalidad los autoestados del hamiltoniano tampoco cambiarán en el tiempo. A la hora de promediar valores medios, uno puede llevarse todas las dependencias temporales a los operadores pasando a imagen de Heisenberg. El hamiltoniano devuelve un autovalor al aplicarlo sobre sus autoestados, de tal manera que esta excéntrica expansión se convierte en una serie de Taylor con todas las de la ley, y se puede igualar matemáticamente a una exponencial en el autovalor 
tal que
Si no todo el hamiltoniano depende explícitamente del tiempo, sino tan sólo una parte de él,
se utiliza el truco de la imagen de interacción, que está a caballo entre las imágenes de Schrödinger y Heisenberg: Las dependencias en el tiempo triviales (del tipo que se acaba de discutir) se pasan a los operadores, y las no-triviales se dejan en los estados; de cara a utilizar otras técnicas de cálculo (como puede ser teoría de perturbaciones) para estudiar los efectos generados por la "parte difícil" del hamiltoniano. La transformación unitaria que lleva de la imagen de Schrödinger a la imagen de interacción es igual que la que lleva a la de Heisenberg, pero en vez de introducir el hamiltoniano completo, se mete solo la parte H_0 que no depende del tiempo.
En lo que quiero hacer énfasis es que lo que realmente necesitas para poder trabajar y calcular cosas es que lo que haya dentro de la "exponencial" sea un operador que no dependa explícitamente del tiempo. Esta identidad que mostrás
Sólo tiene esentido en tanto en cuanto puedes escribir )
como
Y puedes verificar que la propiedad se cumple trivialmente mientras no dependa explícitamente del tiempo. Salvo para una cierta clase de casos particulares de hamiltoniano... Que a ver si descubres cuál es 
? . Tiene que ver con los operadores de evolución?. Agradecería a quien me ayudara con esto.
Operaciones con operadores cuánticos.
en el tiempo y pasa del tiempo
, pero hay que multiplicar este factor por
para que las dimensiones concuerden con las temporales.
tiene la forma que dices, en donde el Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. Ahora bien, pregunto: sihago
, el operador lo llevo al tiempo
?.
)
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