Demostrar que existe solamente una terna de números enteros positivos, cada uno mayor que 1, tal que el producto de dos de los números más uno es divisible por el tercero.
Demostrar que existe solamente una terna de números enteros positivos, cada uno mayor que 1, tal que el producto de dos de los números más uno es divisible por el tercero.
Bonito problema. Hallar una tal tripla es sencillo. Demostrar que es la única es donde está lo interesante; si tengo tiempo, le doy una pensada.
No se demostrarlo, pero pense mentalmente en
237
2*3+1=7, divisible por 7
2*7+1=15 , divisible por 3
3*7+1=22 , divisible por 2
puede que sea el unico, no se me ocurre otro...
(ab + 1)/c ; (ac + 1)/b ; (bc + 1)/a deben ser naturales, por lo tanto (condicion necesaria), su producto
(ab + 1)/c·(ac + 1)/b·(bc + 1)/a = abc + a + b + c + 1/a + 1/b + 1/c + 1/(abc) también.
Entonces 1/a + 1/b + 1/c + 1/(a·b·c) debe ser un natural
Como a,b,c son mayores que 1, entonces debe ser
1/a + 1/b + 1/c + 1/(abc) = 1
Y esto acorta la búsqueda a pocos números.
Supongamos a <= b <= c
Entonces debe ser 2 <= a <= 3
Si a=2, la expresión queda ahora
1/b + 1/c + 1/(2bc) = 1/2
entonces debe ser 3 <= b <= 5
Si b=3, queda 1/c + 1/(6c) = 1/6 ----> c=7
Repitiendo el proceso con b=4,5 , a=3 ,... (son pocos casos) se ve que 2,3,7 es la única solución.
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