demostración por Inducción

[Omega89]

Sólo llama



aplicando la hipótesis de que



se debe demostar, aplicando la primera definición y usando la hipótesis anterior, que



Pero lo que tú intentas demostrar es falso, por eso no te sale.

No es cierto que escepto para tres valores de h.

Vaya, entonces me estoy rompiendo la cabeza factorizando para nada. Sólo una última duda. Aun cuando la igualdad se cumpla para un determinado valor, ejemplo el 1, no necesariamente significa que proposición sea VERDADERA?? Yo pensé que si para n = 1 se cumple, debía por tanto cumplirse para todo.

[Horreo]

Que se cumpla para un número no es suficiente para que se cumpla en general.

El principio de inducción se sustenta en dos puntos:

1.- Que se verfique para la unidad n=1.

Si no se verifica, entonces, tu propiedad no es cierta.
Si se verifica, no tiene por que ser cierta, ha de cumplir el punto 2.

2.- Asumiendo la hipótesis de inducción, es decir que se cumple para un valor cualquiera n. Ha de verificarse para el siguiente valor, es decir n+1. De cumplirse, entonces se verficará para todo n. De lo contrario, la propiedad, no será cierta.

Suponte la sucesión

1, 2 ,3 ,4 ...n. Su expresión general será Y la suma de los n términos es

Vamos a demostrar esto por inducción:

Se verifica para la unidad. n=1. Obvio, no lo hago

Ahora, asumimos que se cumple la hipotesis de inducción es decir, supongamos que se verifica que . Se tratará usando esta hipótesis de hacer que se verifique para n+1. Vamos con ello



Ahora aplicamos la hipótesis de inducción, suponemos que nuestra relación se cumple para n, así se tiene:



Así que como se verifica para n+1, se verifica para todo n.

Un saludo

[Omega89]

Ahora si me hicieron un lio, Chicos. Me dicen que no se cumple, peor ahora que si se cumple. ?!!

[Fortuna]

No es lo mismo que ni que .

Vamos a ver, sabes para muchos enes. Sólo necesitas saber a partir del s_n anterior.

[Horreo]

No te preocupes, el principio de inducción, es complicado, y hay que coger el truco. Pero la idea basica es la que te dije. Se basa en los dos puntos:

Te dan una expresión o propiedad que quieres verificar, así que haces:

1. Verificar la unidad n=1.
Si se verifica, entonces pasas al segundo punto. De lo cumplirse la unidad, etonces tu propiedad, no es cierta.

2. Asumes que tu propiedad se verifica para n, esta es la hipótesis de inducción. Entones si se verifica para n, usando la hipótesis, tratamos de averigurar si se verifica para n+1.
Si lo hace, entoces se verifica para todo n. Si no es cierto para n+1, entonces, tu propiedad no es cierta.

Mira el ejemplo que te puse, que creo que es muy ilustrativo. Fíjate en el uso de la hipótesis de inducción.

Un saludo y ánimo

[Nexus 7]

Me gustaría hacer una pequeña matización

Te dan una expresión o propiedad que quieres verificar, así que haces:

1. Verificar la unidad n=1.
Si se verifica, entonces pasas al segundo punto. De lo cumplirse la unidad, etonces tu propiedad, no es cierta.

Aunque normalmente es así, no siempre tiene por qué serlo. Hay ecuaciones que SOLO son ciertas para cualquier natural mayor o igual que m, y su demostración por inducción se hace comprobando que es cierto para un número natural k (tal que k mayor o igual que m) y luego que si es cierto para n entonces también es cierto para n+1.

Es cierto que si no se verifica para 1 entonces esa ecuación es falsa para 1, pero eso no tiene nada que ver con que sí se pueda hacer su demostración por inducción para todos los naturales mayores que tal o cual número.

Un ejemplo a vuela pluma sería n= |n-8|+8.
.- Esta ecuación es cierta para todo n>7
.- Sí se puede demostrar por inducción
.- Es falsa para n=1


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Si el segundo paso lo completas satisfactoriamente y en el primer paso usaste ...
.- El 30, entonces habrás demostrado que la ecuación es cierta para todo natural igual o mayor que 30
.- El 8, entonces habrás demostrado que la ecuación es cierta para todo natural igual o mayor que 8
.- El 1, entonces habrás demostrado que la ecuación es cierta PARA TODO natural.

[Horreo]

Me gustaría hacer una pequeña matización

Aunque normalmente es así, no siempre tiene por qué serlo. Hay ecuaciones que SOLO son ciertas para cualquier natural mayor o igual que m, y su demostración por inducción se hace comprobando que es cierto para un número natural k (tal que k mayor o igual que m) y luego que si es cierto para n entonces también es cierto para n+1.

Es cierto que si no se verifica para 1 entonces esa ecuación es falsa para 1, pero eso no tiene nada que ver con que sí se pueda hacer su demostración por inducción para todos los naturales mayores que tal o cual número.

Un ejemplo a vuela pluma sería n= |n-8|+8.
.- Esta ecuación es cierta para todo n>7
.- Sí se puede demostrar por inducción
.- Es falsa para n=1

Muy acertada la puntualización. en rigor, ha de demostrarse para el primer elemento del conjunto, en el ejemplo que pones, se verifica para natural por tanto hay que probarlo para n=8. ;)

Un saludo

[Omega89]

Trataré de analizar vuestras opiniones, la verdad es que es un poco complicado la demostración por inducción, me he hecho un lio todo el fin de semana tratando de resolver la proposición. Gracias por los ánimos Horreo. La verdad es que me hacen falta.