un problema de areas con int. dobles

[carpediemfg]

Holas, estoy teniendo problema para resolver este ejercicio:
Calcule el area de las region comprendida entre las dos circunferencias x²+y²=ax ; x²+y²=by, en donde a y b son numeros positivos dados.

Bien de inico intento pasarlo a polares en donde:
x=rcosΦ
y=rsenΦ
en la primera ecuacion: r²=a*rcosΦ en donde r puede ser 0 o cosΦ
en la segunda ecuacion: r²=b*rsenΦ en donde r puede ser 0 o senΦ

Graficando la region interseccion de ambas debe estar en el primer cuadrante. donde me imagino que Φ esta variando entre 0 y pi/2. Mi pregunta es en donde varia "r", no me queda muy claro

Si alguien sabe como resolverlo de una manera mas facil, agradeceria mucho su ayuda

[Melius]

Circunferencia 1: x²+y²=ax -> (x-a/2)²+y²=(a/2)² O1(a/2,0) r1=a/2
Circunferencia 2:x²+y²=by -> x²+(y-b/2)²=(b/2)² O2(0,b/2) r2=b/2
Segun eso puedo ver para ambas circunferencias que la tangente de un punto toca el origen.

plt13.jpg

En polares:
r1=a.cos(Φ)
r2=b.sen(Φ)
Igualando r1 y r2 para hallar Φ

Φ=arctg(a/b)

Entonces integras en dos partes y luego la sumas:

Parte 1 : r2=b.sen(Φ) , rango de Φ=(0 , arctg(a/b) )
Parte 2: r1=a.cos(Φ) , rango de Φ=(arctg(a/b) , pi/2 )

Creo que algo asi... y me sale

math4.png

[carpediemfg]

Hola, ante todo muchas gracias por responder. Lo que pude entender es que los limites de integracion de las dos areas que tengo que sumar es:

R1={(r,Φ) E R² / 0≤Φ≤arctan(a/b) y 0≤r≤b*sen(Φ)}
R2={(r,Φ) E R² / arctan(a/b)≤Φ≤pi/2 y 0≤r≤a*cos(Φ)}

aplico area de una region con integral doble, y eso es todo!, me sale la respuesta. Muchas gracias

Bueno tengo otra duda respecto a este problema: Considere los 2 circulos x²+y²=ax, x²+y²=bx, en donde a>0, b<0, lbl<0
. Calcule el area del "triangulo" limitado por estos 2 circulos y la recta tangente comun a ellos.

Bien he podido graficar este ejercicio, segun creo yo es asi:

plot3.jpg

Mi ejercicio estaria resuelto solo si hallo la ecuacion de la recta tangente comun a ellos, en este punto nesecito ayuda, como podria hallarlo?