Título:Concepto de tensor
Autor:leach

El hilo original es este: http://foro.migui.com/smf/index.php?topic=821.0

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Requisitos fundamentales para tener tensores:

1) Para tener tensores antes que nada hay que tener un espacio vectorial, que actuará como espacio fundamental. Por ejemplo, lo más común es que el espacio fundamental sea en física clásica (el espacio de posiciones), o bien en relatividad especial (el espacio-tiempo).

Este requerimiento se debe a que los tensores son estructuras lineales (generalizaciones de matrices), y esas estructuras lineales necesitan estar referidas a un cierto espacio vectorial de partida.

2) El segundo requisito es que el espacio vectorial fundamental se transforme, es decir, que admita un grupo de transformaciones. En el caso de las transformaciones suelen ser las rotaciones (y aveces traslaciones, o más en general cualquier isomorfismo lineal), mientras que en las transformaciones casi siempre son las de Lorentz.

Este requerimiento es básico para que los tensores tengan sentido. Por ejemplo, si tienes un espacio base siempre puedes construir cosas como las matrices de inercia (que es un tensor), y entonces aparece la duda de cómo será la matriz de inercia en otro sistema de referencia: aquí es donde aparece la utilidad de considerar los tensores como estructuras que admiten transformaciones.

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Así que el truco de los tensores es básicamente ese: como tienes un espacio base, tienes un montón de estructuras lineales asociadas (vectores, matrices, etc.). Como además ese espacio base se transforma, aparece la pregunta de cómo se transforman las cantidades asociadas, que no es una pregunta trivial.

Por ejemplo, imaginad que tenéis el espacio , y que en ese espacio tenéis un punto, cuya posición está dada por el vector . Si ahora aplicáis una rotación de matriz al espacio base, todo el mundo sabe que el vector se transforma por un producto matricial, . Fácil.

Pero ahora imaginad que en ese espacio de 3 dimensiones tenéis una matriz que representa los momentos de inercia de un cuerpo sólido. Quizás no sea tan evidente que la esa matriz se transforma, al cambiar de sistema de referencia, como . Y no digamos ya si pasamos a considerar tensores más complicados, como una forma de volumen, que en este caso sería invariante porque las rotaciones tienen determinante 1.

El estudio de tensores permite, de una manera sistemática, considerar todas estas estructuras lineales que aparecen, y sus transformaciones. Es un campo bastante amplio, y puede estudiarse a niveles de profundidad casi arbitrarios. Por ejemplo, la estructura de los grupos de transformaciones implicados a la hora de definir los tensores es un punto clave de la teoría de representaciones (tensoriales), y se considera materia de estudio a nivel de doctorado. No es que sea terrible, pero es una cuestión sutil.

Para entender el sentido físico de la mayor parte de los problemas que suelen aparecer, no hace falta romperse tanto la cabeza. Basta estudiar un poco de álgebra tensorial (que indica cómo se crean todos los tensores a partir del espacio de partida, esencialmente considerando colecciones de índices y relaciones de simetría/antisimetría entre ellos), y luego aprender una serie de reglas naturales de transformación (lo que en física suele proponerse en la separación entre índices covariantes y contravariantes, contracciones, diferenciaciones covariantes, etc.). En matemáticas, a esto se le llama trabajar con transformaciones naturales entre categorías.

Yo diría que lo de los tensores no tiene gran misterio, aunque puede confundir por la manía que tienen ciertos libros de introducir estas cuestiones en plan cabalístico, en vez de dar un curso de álgebra bien dado antes de meterse con las estructuras lineales.

He estado pensando que quizás una introducción razonada a los tensores sería un buen proyecto para mandar a la colección de fisimur. Aunque desde mi punto de vista es bastante elemental y algo aburrido de escribir, y todo un desafío lograr que se entienda bien y no sea árido, quizás pudiera ser interesante.

Bueno, en cualquier caso, ahí queda esta especie de introducción al concepto de tensor.