(MT:AL) - Grupos especiales y unitarios - leach

**MiGUi** · 27/11/2005 15:58

Título:Grupos especiales y unitarios
Autor:leach

El hilo original es: http://foro.migui.com/smf/index.php?topic=1190.0

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En matemáticas, estos grupos se estudian desde muchas ramas, pero la que los estudia en exclusiva es la teoría de Grupos de Lie.

En si mismos, estos grupos son en su mayor parte muy fáciles de definir: por ejemplo, el grupo O(n) es el grupo de rotaciones n-dimensional:

$O(n) \quad = \quad \left\{A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})\ \vert \ A\cdot A^{t} \ = \ I \}$

Las matrices cuadradas reales que dejan invariante el producto escalar en $\mathbb{R}^{n}$ . Por ejemplo, O(3) son las rotaciones en el espacio tridimensional. Estas familas de matrices son grupo con la multiplicación de matrices, puesto que la composición de dos rotaciones es rotación. De ahí el concepto de grupo O(3).

Por otro lado, las versiones "especiales" del grupo de rotaciones son aquellas que tienen determinante igual a 1, es decir, aquellas rotaciones que conservan la orientación:

$SO(n) \quad = \quad \left\{A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})\ \vert \ A\cdot A^{t} \ = \ I \ , \ \det A = 1\}$

Obviamente, tenemos:

$SO(n)\subset O(n)$

siendo el contenido estricto. No todas las rotaciones conservan la orientación.

Otro grupo de enorme importancia es el unitario, que conserva no el producto escalar en $\mathbb{R}^n$ , sino el producto hermítico en $\mathbb{C}^n$ . El producto hermítico es muy parecido al escalar, pero en versión compleja. En resumen, tenemos:

$U(n) \quad = \quad \left\{A\in M_{n\times n}(\mathbb{C})\ \vert \ A\cdot A^{*} \ = \ I \}$

Donde la matriz $A^{*}$ es la adjunta de $A$ , y se obtiene transponiendo $A$ , y calculando los conjugados de todos sus elementos. Esto es algo muy común en cuántica, donde se trabaja continuamente con funciones unitarias y hermíticas; tpdos los operadores no infinitesimales en cuántica que respetan la normalización son unitarios.

Bueno, también existen los grupos unitarios especiales, que se definen:

$SU(n) \quad = \quad \left\{A\in M_{n\times n}(\mathbb{C})\ \vert \ A\cdot A^{*} \ = \ I \ , \det A= 1\}$

Es decir, las matrices unitarias con determinante 1, en total analogía con el caso ortogonal. De especial importancia es SU(2), también conocido como grupo de spin, que determina como se transforman los espinores al aplicarles una rotación. Además, SU(2) es estructuralmente muy simple, y suele aparecer al estudiar grupos más complicados como un subcaso (de ahí las innumerables especulaciones sobre unificaciones/roturas de simetría, tratando de encajar al camaleónico SU(2) en un grupo más gordo).

Todavía existe otra familia importante de grupos compactos, que son los simplécticos y que se asocian a la invarianza respecto a una métrica cuaterniónica, pero no creo que valga la pena entrar en ellos.

Aparte de esta familia de grupos compactos, conexos y simples, existen varios grupos llamados excepcionales, que formalmente están asociados a las estructura de las octavas (u octonios). Estos grupos son $E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$ . Como véis, estos grupos no están numerados por un índice, sino que son un puñado disperso y finito.

En general los físicos sólo se preocupan por los grupos más pequeños, tales como U(1), SU(2), SU(3), etc. Muchas especulaciones intentan meter mano a grupos más grandes y raros, incluso a veces a los excepcionales, pero hasta donde yo lo sé, ninguna de esas teorías goza de gran predicamento.

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Veamos algunas cosas concretas que han salido, para dar un ejemplo de isomorfismo:

Por ejemplo el grupo $SO(2)$ , cuyos elementos podemos escribir fácilmente:

$SO(2) \quad = \quad \{ \left[\begin{array}{cr}\cos t & -\sen t \\ \sen t & \cos t\end{array}\right] \ \vert \ t\in\mathbb{R}\}$

Es muy fácil comprobar que estas matrices verifican $A A^t = I$ y $\det A = 1$ . Este grupo es conmutativo, como puede verse directamente.

Ahora fijémonos en el grupo U(1), que está formado por todas las matrices complejas 1x1 con su elemento de módulo 1, puesto que la condición $A A^{*}$ es lo mismo que decir que el único coeficiente es de módulo 1. En resumen:

$U(1) \quad = \quad \{ e^{it}\ \vert \ t\in \mathbb{R}\}$

Obsevad que a a cada elemento de $SO(2)$ le corresponde un único elemento de $U(1)$ y viceversa:

Dado un

$A \quad = \quad \left[\begin{array}{cr}\cos t & -\sen t \\ \sen t & \cos t\end{array}\right]$

en $SO(2)$ , podemos extraer dos elementos de la matriz para hacer un número complejo: $z = a_{11} + a_{21}\, i$ , es decir:

$\left[\begin{array}{cr}\cos t & -\sen t \\ \sen t & \cos t\end{array}\right] \quad \stackrel{f}{\longrightarrow} \quad \cos t + i \sen t \quad = \quad e^{it}$

y al revés, si tenemos $e^{it}\in U(1)$ , basta hacer:

$e^{it} \quad = \quad \cos t + i\sen t \quad \longrightarrow \quad<br /> \left[\begin{array}{cr}\cos t & -\sen t \\ \sen t & \cos t\end{array}\right]$

simplemente definiendo $a_{11} = \cos t, \, a_{12} = -\sen t,\, a_{21} = \sen t,\, a_{22} = \cos t$ , donde cada coeficiente de la matriz se saca de la parte real o imaginaria de $e^{it}$

Pues bien, tenemos definida una correspondencia inversible:

$f: SO(2) \longrightarrow U(1)$

que además respeta las leyes de multiplicación en los dos grupos:

$f(A_1\cdot A_2) \quad = \quad f(A_1)\cdot f(A_2)$

por lo tanto tenemos lo que se llama un isomorfismo entre los dos grupos. Además, este isomorfismo respeta las estructuras topológicas y diferenciables de ambos grupos (esto es un detalle un poco avanzado), así que $f$ es de hecho un isomorfismo de grupos de Lie.

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