Título:Espinores
Autor:leach

El hilo original es: http://foro.migui.com/smf/index.php?topic=395.0

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Matemáticamente, los espinores son vectores que corresponden a una cierta representación del grupo ortogonal (en física clásica) o de Lorentz (en relatividad). Para entender bien qué es un espinor, primero hay que entender bien qué es un vector.

Desde un punto de vista matemático, todos los tensores son vectores: los escalares son vectores (forman parte de un espacio vectorial). Lo mismo los tensores tipo (1,0) y (0,1), que son los "vectores" usuales. También las matrices son vectores, porque forman parte de un espacio vectorial (suma de matrices y combinación lineal de matrices da matrices).

Bueno, ahora tomemos el espacio tridimensional, y el grupo de rotaciones en ese espacio (es decir, la situación normal en mecánica clásica). Bien, pues resulta que los vectores 3-dimensionales pertenecen al la representación estándar del grupo :

Si es una rotación de y , entonces es la manera de actuar del grupo en el espacio tridimensional: rotando el vector.

Llamemos a esta representación estándar . Aparte de esta representación, tenemos la representación trivial, que consiste en llevar cada elemento de en la identidad. Esta representación es unidimiensional, y no cambia los elementos sobre los que actúa (por ese motivo los escalares son siempre invariantes para la acción de ). Llamemos a esta representación .

Bien, sin entrar en disquisiciones sobre espacios duales (que en este caso no importan), las matrices son el producto tensorial de dos vectores. Así que, como los vectores corresponden a la representación , tenemos que la representación de las matrices respecto a es:



donde para el lado de la derecha hemos usado el teorema de Clebsch-Gordan. Esto significa que toda matriz se puede descomponer en tres partes irreducibles: una de ellas se transforma como un escalar, la otra como un vector, y la otra se transforma de manera irreducible como una representación de SO(3) de dimensión superior.

La descomposición es evidente: toda matriz 3x3 se puede descomponer en una parte proporcional a la matriz identidad (por tanto de dimensión 1, invariante, y se comporta como un escalar), una parte antisimétrica (que se comporta como un vector, de ahí los famosos "vectores axiales" de muchos libros de física), y en una parte simétrica (que tiene 5 componentes independientes, porque se excluye el múltipo de la identidad, y es irreducible).

En fin, y este tipo de razonamiento puede seguir llevándose adelante, examinando todos los tensores como objetos que pertenecen a representaciones del grupo ortogonal.

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Si se entiende lo anterior, entonces es relativamente fácil entender qué es un espinor. Resulta que el grupo ortogonal tiene una cubierta doble, es decir, que hay un grupo, usualmente llamado , tal que existe un homomorfismo



cuyo núcleo es el grupo de dos elementos . Intuitivamente, puede decirse que permite tomar "raíces cuadradas" de elementos de a través del homomorfismo .

Bueno, pero ¿qué tiene de particular que tenga una cubierta doble? Lo importante es que Pauli demostró que esa cubierta doble actúa en la geometría de la mecánica cuántica; es decir, que ese grupo es físicamente relevante. Puesto que es un grupo, tiene representaciones, y en consecuencia da lugar a tensores.

En primer lugar, como es la imagen de por un homomorfismo, tenemos el resultado importante (y evidente): toda representación de es representación de . Es decir, que si tomamos a como grupo fundamental de la mecánica clásica, podemos seguir explicando todos los tensores que aparecen al usar .

Lo importante es el siguiente resultado importante (fácil, pero no tan trivial): tiene el doble de representaciones que . Este resultado está relacionado con que el núcleo de tenga dos elementos. En fin, que este resultado significa que, si aceptamos a como grupo de simetrías del espacio, entonces aparece el doble de tensores asociados a esa física.

Pues bien, los físicos llaman espinores a aquellos tensores asociados a , que no están asociados a . Por ejemplo, la representación irreducible de , que es bidimensional sobre , es espinoral, porque no se corresponde con ninguna representación de . Esta representación, llamémosle , está compuesta por los vectores complejos llamados espinores de Pauli.

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Bueno, y qué pasa con la relatividad. Pues que el grupo de Lorentz (propio) está recubierto doblemente por el grupo conocido como . Si aceptamos este grupo como el fundamental de simetrías angulares para la relatividad, una vez más nos aparece el doble de tensores. Usando el truco unitario de Weyl (algo que los físicos suelen hacer de forma desvergonzada), es posible demostrar que el comportamiento de estos grupos de la relatividad es muy parecido al de la mecánica clásica, sólo que ahora las representaciones aparecen por parejas. De esta manera, hay dos representaciones fundamentales de , que suelen indicarse como:



Precisamente cada una de ellas se asocia a uno de los dos "espinores de Weyl". Y los espinores de Dirac corresponden a combinaciones lineales de dos espinores de Weyl (uno de cada tipo), y que no se pueden reducir a un único espinor de Weyl mediante una transformación de . Es decir, que grosso modo, los espinores de Dirac pertenecen a la representación no irreducible:



Trabajando sobre invariantes, y aplicando Clebsch-Gordan para (afortunadamente, hay una fórmula sencilla para estos grupos), pueden obtenerse las ecuaciones de onda para cualquier spin semientero, por un procedimiento bien conocido.