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Tema: Método de coeficientes indeterminados

  1. #1
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    Método de coeficientes indeterminados

    Hola a todos.
    Tengo que exponer un trabajo de ecuaciones diferenciales; concretamente de ecuaciones diferenciales de orden n con coeficientes constantes y ya no sé por donde buscar la información

    La cuestión es: tengo resuelto el problema en caso de que las ecuaciones sean homogéneas. En el caso de las completas voy a aplicar el teorema que dice que la solución general de una ed lineal completa puede obtenerse como suma de la solución general de la homogénea asociada y un valor particular de la completa.

    Debería explicar dos métodos para la obtención de esa solución particular; el de los coeficientes indeterminados y el de variación de parámetros.
    Y mi problema es que no encuentro nada!! Necesito ser rigurosa y por supuesto necesito poner todas las demostraciones, pero todos los links que encuentro son aplicaciones de los métodos asi que no me valen de nada.

    Si alguien pudiese recomendarme un libro o alguna página donde traten el tema... os lo agradecería muchisimo
    No hay nada repartido más equitativamente que la razón; todo el mundo está convencido de tener suficiente. (Descartes)

  2. #2
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    Método de coeficientes indeterminados

    El método de variación de parámetros, consiste en demostrar que (centrándonos en una ecuación de tercer orden, p. ej.) si



    es función complementaria de



    Entonces

    (*)

    es una solución de la ED completa, siempre que satisfagan








    Para demostrarlo basta con hallar , y partiendo de (*) e introduciendo en ellas los valores de estas tres últimas ecuaciones. Finalmente, con estos valores de las derivadas primera, segunda y tercera, se forma para comprobar que efectivamente es igual a

    ¿Es esto lo que andavas buscando?

    Por otro lado, para mi, el método de los coeficientes indeterminados siempre ha sido un acto de fe, uno más. No dejes de publicar la demostración cuando la conozcas, porfa.

    Saludos,
    Toda regla admite su expección, incluso ésta

  3. #3
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    Método de coeficientes indeterminados

    :umm: Tengo un pequeño esbozo de la demostración pero hay algunos puntos que no soy capaz de demostrar(aunque debería porque creo que son sencillos) y hay algunas implicaciones de las que no estoy muy segura.
    Hoy no puedo postearlo porque me llevaría bastante tiempo y no me tengo en pie pero espero poder conectarme mañana por la noche.

    La demostración que necesito es bastante algebraica. Voy a trabajar con operadores lineales, sus sumas directas y kernels. A ver si entre todos llegamos a algo
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  4. #4
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    Método de coeficientes indeterminados

    En general, si tienes una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n>0:



    tal que los coeficientes son continuos, entonces las soluciones de la ecuación diferencial son derivables con continuidad al menos n veces.

    Denomina al espacio vectorial de las funciones derivables n veces con continuidad (en el intervalo que estés planteando el estudio). Tenemos el hecho sencillo de demostrar:

    1. El operador diferencial , definido:



    es lineal entre los dos espacios vectoriales y .


    Naturalmente, ambos espacios vectoriales son de dimensión infinita, pero la mayor parte de los resultados del álgebra lineal se sostienen en ellos. En particular, tienes que:

    2. Las soluciones de la ecuación lineal homgénea es un subespacio vectorial de , concretamente .

    Y de aquí es directo:

    3. Sea . Las soluciones de la ecuación no homogénea es una variedad lineal en , más concretamente la variedad lineal , donde es cualquier solución particular de la ecuación no homogénea.


    Estos dos resultados salen directamente de aplicar la teoría de espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Un hecho ya más particular es el bien conocido:

    4. El subespacio tiene dimensión finitia, igual al grado de la ecuación diferencial.

    Este resultado se demuestra recurriendo al wronskiano y el teorema de Abel. Existen demostraciones más generales, para ecuaciones diferenciales en general, pero la demostración lineal es especialmente elegante y sencilla. Según pienso esto, me voy acordando de haberlo estudiado en el Calculus de T.M.Apostol (uno de los dos volúmenes), donde el tratamiento de la teoría de ecuaciones diferenciales elementales es muy bueno. Creo que te recomendaría esa referencia.

    En fin, este es el contexto en que creo que te mueves, y muy posiblemente lo tengas perfectamente establecido en tu trabajo.

    Ahora, para el caso de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, puedes observar que los coeficientes de , al ser constantes, son , y por ello las soluciones de la ecuación diferencial también serán infinitamente diferenciables. Esto te permite hacer derivadas a mayores de tu ecuación diferencial sin que se pierdan soluciones, que es precisamente en lo que consiste el método de coeficientes indeterminados.

    La idea es obviamente la siguiente. Tienes tu ecuación diferencial:



    que como sabes tiene núcleo de dimensión n. Ahora vienen y te dicen que resuelvas la ecuación:



    donde de hecho es solución de otra ecuación diferencial lineal de grado m con coeficientes constantes:

    .

    Luego se te ocurre componer los dos operadores, y por lo tanto tienes la aplicación lineal:



    tal que, naturalmente, si resulta: , entonces .

    Es decir, has metido las soluciones de tu primera ecuación, no homogénea, en el núcleo de la segunda. Lo que tienes es, evidentemente, tu variedad lineal metida en un espacio vectorial de dimensión finita.

    Puedes ver esto como un problema de geometría afín: para hallar una recta en el espacio, consideras el plano que contiene a la recta y pasa por el origen. Ese plano contiene muchas rectas además de la que te interesa, así que lo que haces es tomar un elemento genérico de ese plano y le aplicas la ecuación de la recta. ¿Por qué es útil esta solución tan brutal en el caso de ecuaciones diferenciales? Pues porque tiene dimensión infinita, pero tiene dimensión finita n+m, de forma que tu problema se reduce a una ecuación lineal. En pocas palabras: el método de coeficientes indeterminados permite resolver el caso no homogéneo al confinar las soluciones en un subespacio de dimensión finita, donde puede resolverse por medio de unas sencillas ecuacioes.

    Veámoslo. Si resuelves la ecuación diferencial lineal , obtienes un espacio de dimensión n+m, es decir, una solución general que puedes escribir:



    Ahora puedes aplicar el operador e igualar a la parte no homogénea:



    Pero sabes que está en el núcleo de , así que se puede escribir como solución de esa ecuación:



    Además, cada también está en el núcleo de , así que lo puedes escribir como combinación lineal:



    Por lo tanto, igualando, tenemos:



    Puesto que las funciones son linealmente independientes en , los coeficientes deben ser iguales, es decir:



    donde los son conocidos (por resultar de resolver una ecuación homogénea), y los también, por resultar de aplicar una aplicación lineal en un espacio cuya base conocemos. Por lo tanto, el problema queda reducido a resolver un sistema de ecuaciones lineales en dimensión finita.


    Para un trabajo serio la cosa se puede formular mucho mejor que lo que lo he hecho yo, desde luego, pero creo que al planteamiento que apuntabas iba por aquí. Creo que la mejor referencia para estas cosas, a este nivel, es el librote de Apostol. He estado mirando, y el capítulo 6 del volumen 2 está dedicado por completo a las ecuaciones diferenciales lineales.

    Y gwir yn erbyn y byd.

  5. #5
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    Método de coeficientes indeterminados

    Muchas gracias Leach, ya se me van aclarando las ideas :D
    Este es el primer año que me enfrento a las ecuaciones diferenciales y resulta que la teoria la tenemos que exponer los alumnos. Los temas referentes a sistemas de ecuaciones y ec lineales en general aun no se han explicado asi que... de ahi mi lio mental

    En cuanto a lo del Apostol... no sé como no se me había ocurrido!Lo tengo en casa desde los tiempos de universidad de mis padres... Le he estado echando una ojeada y es perfecto. Gracias de nuevo.
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  6. #6
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    Método de coeficientes indeterminados

    Wenas. Me falta demostrar un pequeño detalle
    Tengo mi ecuación de orden n


    donde f(t) es solución de otra edl
    (p y q son dos polinomios de grado r)

    Defino los operadores:




    Entonces

    Lo que busco es demostrar que si entonces:


    Un contenido es muy sencillo:




    Pero el otro contenido... no me sale
    ¿A alguien se le ocurre como hacerlo?
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  7. #7
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    Método de coeficientes indeterminados

    Hola. El resultado que estás buscando es muy particular de los operadores diferenciales, y no vale en general para cualquier aplicación lineal.

    Veamos un contraejemplo con aplicaciones lineales en . Toma las dos aplicaciones lineales:



    Puedes comprobar directamente que:



    Estos dos subespacios tienen intersección nula. Sin embargo, si calculas la composición:



    cuyo núcleo puedes calcular fácilmente:



    y por ello no es la suma directa de los dos núcleos. Por lo tanto, no vas a poder usar las propiedades generales de las aplicaciones lineales para demostrar lo que te propones, sino que tendrás que entrar en propiedades específicas de las ecuaciones diferenciales que estás estudiando.

    De hecho, tienes un problema tu demostración:




    esto es incorrecto. Desarrollando, tenemos:




    Ahora bien, aunque , nada te garantiza que su imagen por siga estando en , por lo que no puedes igualar esa expresión a cero. Como hemos visto en el contraejemplo anterior, esa expresión no es cero para cualquier aplicación lineal.

    La forma más general que se me ocurre para el núcleo de la composición de dos aplicaciones lineales es la siguiente:



    esta igualdad es muy sencilla de probar, y encierra toda la esencia del contraejemplo anterior.

    ---------

    Ahora bien, cómo demostrar que para tus dos operadores diferenciales:





    si es:



    entonces se cumple:




    Bien, yo lo haría de manera directa: tienes una caracterización de los elementos de los núcleos de cada uno de los operadores en base al polinomio asociado. Los elementos de cada núcleo están determinados por las raíces de esos polinomios y sus multiplicidades. Así pues, sencillamente comprueba que para la composición de dos operadores, el polinomio asociado es el producto de los dos polinomios de partida. Luego las raíces asociadas al operador compuesto son las raíces de los de partida, con sus multiplicidades sumadas en caso de que haya repeticiones entre los dos operadores. Pero como los núcleos son disjuntos, ningunas de las raíces coinciden, luego de ahí deduces directamente que el núcleo del compuesto es la suma de los núcleos de partida.

    No sé si me explicado bien ??: . Mi consejo es que trabajes con los polinomios asociados, que son:





    entonces demuestra que:



    y analiza las raíces de este polinomio, que de hecho caracterizan el núcleo del operador asociado. Observa que a todos los efectos tienes que los operadores diferenciales lineales forman un anillo (con la suma y la composición), y que ese anillo es isomorfo al anillo de polinomios en una variable. Esa es la clave para el análisis de los núcleos de estos operadores.

    Espero que esto te eche una mano.
    Y gwir yn erbyn y byd.

  8. #8
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    Método de coeficientes indeterminados

    En mi demostración asumí que los operadores conmutaban. Sé que en general no es correcto pero había leído que al tratarse de ecuaciones d.l con coeficientes constantes si que podía hacerse.




    De todos modos, tienes razón, voy a centrarme en trabajar con los polinomios asociados. Me parece que eso me va a facilitar bastante la vida...
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  9. #9
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    Método de coeficientes indeterminados

    Buena observación, no había caído . De todos modos, el otro contenido:



    sigue sin ser cierto para aplicaciones lineales en general. Si no me equivoco, se cumple en este caso porque ambas aplicaciones tienen núcleo de dimensión finita. Pero si sus núcleo tuvieran dimensión no finita, podrías encontrar ejemplos de funciones que conmutan, tienen núcleos disjuntos, y que a pesar de ello la suma de sus núcleos es menor que el núcleo de la composición.

    Si quieres un contraejemplo, puedo transcribirlo con toda facilidad.

    Lo importante es que, aunque supongas la conmutación de los operadores, tienes que exigir también que sus núcleos sean finitos. En ese caso podrás demostrar el otro contenido, si no me equivoco. En todo caso, si no empleas la dimensión finita de los núcleos en la demostración, no llegarás al resultado. Me parece un poco rollo ??: .
    Y gwir yn erbyn y byd.

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