PROBLEMA DE LAS TRES PUERTAS.

[MarcoPolo]

Este problema me le he encontrado recientemente, y no sé si se ha tratado en este foro, pues es antiguo.
Dada la disparidad de argumentos y criterios utilizados en cierto foro, le expongo aquí más bien para conocer las argumentaciones para su resolución.

En cierto concurso, al concursante se le presentan tres puertas para que elija una. Detrás de una de ellas hay un automóvil de premio. De las dos puertas no elegidas, el presentador abre una que no tiene el premio, y pregunta al concursante si se queda con la elegida o prefiere cambiar a la otra que continúa cerrada.

La cuestión es: ¿es ventajoso cambiar de puerta, o da lo mismo?

Saludos.

P.D. Si este problema ya ha sido tratado, mis disculpas.

[n0mad]

Ha sido tratado numerosas veces. Una explicacion simplificada. Escoges cada puerta con un 1/3 de probabilidad. Hay una con premio y dos sin premio.

Si por azar escoges la que tiene premio (1/3 de posibilidades), dejas que el presentador abra una sin regalo y te cambias. Acabas sin regalo seguro.
Si por azar escoges una que no tiene premio (2/3 de posibilidades), dejas que el presentador abra la otra sin regalo y te cambias. Acabas en la que tiene regalo seguro.

Por tanto, si te ofrecen cambiarte de puerta abriendote una de las que no tiene regalo. Hazlo! 2/3 de las veces acabas con regalo.

[MarcoPolo]

Gracias por la pronta respuesta, breve, simple e inobjetable.
Ésta es exactamete la respuesta a la que llegué yo (pero después de pensar inicialmente, a ojo, que después de abrirse una puerta sin premio, el problema cambiaba con el nuevo dato y la probabilidad de premio podía pasar al 50%)

Gracias de nuevo y saludos.

[danielmbcn]

Ha sido tratado numerosas veces. Una explicacion simplificada. Escoges cada puerta con un 1/3 de probabilidad. Hay una con premio y dos sin premio.

Si por azar escoges la que tiene premio (1/3 de posibilidades), dejas que el presentador abra una sin regalo y te cambias. Acabas sin regalo seguro.
Si por azar escoges una que no tiene premio (2/3 de posibilidades), dejas que el presentador abra la otra sin regalo y te cambias. Acabas en la que tiene regalo seguro.

Por tanto, si te ofrecen cambiarte de puerta abriendote una de las que no tiene regalo. Hazlo! 2/3 de las veces acabas con regalo.

Vaya por delante que yo de estadística voy muy justito, pero ese argumento (si no lo he entendido mal) no veo por donde cogerlo.

Escoges cada puerta con un 1/3 de probabilidad. Hay una con premio y dos sin premio.

De acuerdo.

Si por azar escoges la que tiene premio (1/3 de posibilidades), dejas que el presentador abra una sin regalo y te cambias. Acabas sin regalo seguro.

De acuerdo.

Si por azar escoges una que no tiene premio (2/3 de posibilidades), dejas que el presentador abra la otra sin regalo y te cambias. Acabas en la que tiene regalo seguro.

De acuerdo.

Por tanto, si te ofrecen cambiarte de puerta abriendote una de las que no tiene regalo. Hazlo! 2/3 de las veces acabas con regalo

Vale, aquí. No entiendo la inferencia. Una vez que el presentador abre una de las dos puertas malas (la llamaremos C), para el concursante empieza todo otra vez, solo que esta vez tiene dos puertas (asumimos que el sujeto en cuestión no es ciego y ha visto que tras la puerta que abre el presentador no hay coche); la buena y la mala (A y B), por lo tanto tiene 1/2 de probabilidades de acertar o fallar.

Según ese argumento una simple pregunta del presentador al concursante de que si se quiere cambiar de puerta influye en el resultado final. Eso es lo que no me cuadra.

- ¿A o B?
- B. <--- 50% de probabilidades de acertar
- ¿Seguro?
- No. A. <--- "66,6%"

- ¿A o B?
- A <--- 50%
- ¿Seguro?
- No. B. <--- ¿66,6? ¿En qué quedamos? ¿Cuál es más probable, A o B? ¿De verdad que eso depende de la elección inicial como parece insinuar ese argumento?

- ¿En qué mano está?
- Derecha.
- ¿Seguro?
- No. Izquierda. Ya está, 16% más de probabilidades de acertar.

[emilio]

No entiendo la inferencia. Una vez que el presentador abre una de las dos puertas malas (la llamaremos C), para el concursante empieza todo otra vez, solo que esta vez tiene dos puertas (asumimos que el sujeto en cuestión no es ciego y ha visto que tras la puerta que abre el presentador no hay coche); la buena y la mala (A y B), por lo tanto tiene 1/2 de probabilidades de acertar o fallar.

Mi opinión es que el argumento de n0mad es la forma más elegante de abordar el problema, pero ante objeciones filosóficas es mejor cambiar la elegancia por las cuentas:

No perdemos generalidad si suponemos que el premio está en la puerta 3 (pero no lo sabemos). Llama al suceso "Ganar el regalo aplicando la estrategia de cambiar de puerta" y a la probabilidad de ganar condicionada a que nuestra primera elección ha sido la puerta , para . Entonces, como con la hormiga:

.

Ahora bien, la probabilidad de ganar si eliges la puerta es cero, pues tu estrategia es cambiar de puerta y acabarás eligiendo otra, mientras que tu probabilidad de ganar si eliges cualquiera de las otras dos puertas es , porque el presentador te abrirá la otra que no tiene premio, tú cambiarás de puerta y te quedarás con la . Por lo tanto:

,

como bien decía n0mad. De hecho, es literalmente el mismo argumento. Sólo he añadido algunos chirimbolitos matemáticos para que me digas más precisamente qué ecuación no te convence.

Venga, entro en las dudas filosóficas:

Según ese argumento una simple pregunta del presentador al concursante de que si se quiere cambiar de puerta influye en el resultado final. Eso es lo que no me cuadra.

Es justo lo contrario. Imaginemos que optas por quedarte con la puerta que has elegido inicialmente. Si piensas que al enseñarte la puerta mala tus probabilidades aumentan de a eres tú el que cree que una oferta del presentador cambia tus probabilidades. Si mantienes la elección, ¿cuántas veces ganarás, una de cada dos o una de cada tres? Date cuenta de que si eliges una puerta al azar entre tres y después te dan una información que no utilizas, tus probabilidades de ganar manteniendo tu elección no pueden cambiar.

Imagina que hay cien puertas, tú eliges una al azar y luego te abren todas menos la tuya y otra. ¿De verdad crees que con eso tus probabilidades de ganar aumentan de una contra cien a una contra dos? No. Ganarás una de cada cien veces que juegues, luego, quien adopte la estrategia de cambiar de puerta, como ganará cada vez que tú pierdas, ganará 99 de cada cien veces.

[danielmbcn]

Vale, emilio, ahora sí lo he entendido. Era justamente esto que dices:

Date cuenta de que si eliges una puerta al azar entre tres y después te dan una información que no utilizas, tus probabilidades de ganar manteniendo tu elección no pueden cambiar.

Creo que la cosa estaba en que olvidaba que la elección es a priori de haber obtenido esa "información extra" que me da el presentador y que no utilizo, de ahí mi confusión.

[whistilin]

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