Demostrar que una matriz es invertible partiendo de que otra sí lo es

**Ishtar0** · 28/03/2011 14:13

¿Cómo puedo demostrar que la matriz I-BA es invertible partiendo de que la matriz I-AB sí lo es?. ¿Alguien puede darme alguna sugerencia?. Gracias.

gm · 28/03/2011 14:17

Hola, Ishtar0

La inversa que buscas es $\big(I+B(I-AB)^{-1}A\big)$ .

Edit: está bien saber que esa es la inversa buscada, pero más útil es ver cómo se llega a ella; por eso incluyo ahora una explicación: sea $L$ la inversa de $I-AB$ ; entonces $L-ABL=(I-AB)L=I$ o, equivalentemente, $L-I=ABL$ .

Usando esto, podemos escribir $B$ de la manera siguiente: $B=BL-BL+BI=BL-B(L-I)=BL-BABL=(I-BA)BL$ ; lo que nos lleva (después de multiplicar por $A$ ) a $BA=(I-BA)BLA$ y de aquí, $I-BA=I-(I-BA)BLA$ ; finalmente, despejando $I$ del miembro derecho obtenemos $I=(I-BA)+(I-BA)BLA=(I-BA)(I+BLA)$ .

**Ishtar0** · 28/03/2011 17:46

Gracias por su aportación.

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