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Tema: Ecuaciones diferenciales autonomas

  1. #1
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    Ecuaciones diferenciales autonomas

    Si tenemos la función r(t). Si su derivada v(x,y,t), no depende del tiempo se dice que es una ec diferencial autónoma. Pero digo yo, aunque no aparezca la t explicitamente, sí que esta ahi, pues podriamos sustituir x o y por una f(t).

    Entonces...
    Entendemos lo que clasificamos; cuanto mejor entendemos, menos clases necesitamos.

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  2. #2
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    Ecuaciones diferenciales autonomas

    :umm: Voy a intentar ponerte un ejemplo aunque las ecuaciones diferenciales no son mi fuerte
    x'(t) = f (x(t)) es una ecuación diferencial autónoma. Obviamente,a no ser que x(t) sea una constante, x sí depende de t. Pero lo que nos importa es que f no depende explícitamente de t, sólo depende de x.
    Un ejemplo sería: x'(t) = 4x(t)

    Sin embargo,una ecuación diferencial no autónoma sería del tipo:
    x'(t) = f( t , x(t) ) En este caso, f no sólo depende de x,también depende de t.

    Pasar de una ecuación no autónoma a una autónoma es relativamente sencillo, si te interesa podría intentar explicártelo (mejor no me pongas en ese compromiso,jejeje)
    No hay nada repartido más equitativamente que la razón; todo el mundo está convencido de tener suficiente. (Descartes)

  3. #3
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    Ecuaciones diferenciales autonomas

    Precisamente ese es el problema, que se puede pasar de una a otra. Estoy estudiando temas de estabilidad e inestabilidad y la teoría en [code]\Re^2 se basa en este tipo de ecuaciones.

    El caso que mencionas:


    Por lo que puedo escribir


    Tiene que haber algo que pasamos por alto, precisamente la cuestión de autonoma o permite hacer la distinción entre distintos tipos de ec dif. Si de una ec dif de 2o orden o equivalentemente un sistema de orden dos se representa su espacio de fases, las trayectorias no se pueden cruzar, pues al ser autónomas no dependen de t.

    :S [/tex]
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  4. #4
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    Ecuaciones diferenciales autonomas

    Hablas en términos demasiado físicos y sólo soy una pobre aspirante a matemática que empieza este año a dar sus primeros pasos en el mundo de las ecuaciones diferenciales :oops: Además aunque es sencillo pasar de las no autónomas a las autómas, el cambio hace que aumente el grado. (no sé si eso influye algo en tu problema...)
    En fin,espero tener las ideas mas claras en febrero (o cuando acabe de ojear los dos libros referentes al tema que acabo de sacar de la biblio hoy) :D
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  5. #5
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    Ecuaciones diferenciales autonomas

    no veo lo del aumento de grado...

    otro ejemplo:

    v(t)=t es autónoma o no? A simple vista no, pero vemos que
    x(t)=t^2/2 por lo que podemos ver que


    No sé, igual simplemente es una cuestión de que las autonomas son mas fáciles de resolver a simple vista.
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  6. #6
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    Ecuaciones diferenciales autonomas

    Cuando dije lo del aumento de grado me refería a:
    Supongamos que tenemos x'(t) = f(t,x(t)) una ec dif no autónoma con f una función de x en
    Definimos u = (t,x)
    Entonces:

    Lo que conseguimos es una nueva ec diferencial (F) que será autónoma pero que sale de y va a parar a
    Para hacer el cambio que hiciste en tu ejemplo hace falta conocer de antemano la integral; y eso no va a ser posible casi nunca.
    En cuanto a porque se hace la distinción...no tengo ni idea porque de hecho, las ecuaciones mas fáciles de resolver son las de variables separadas o las exactas y esas son no autómas,no? :(
    (Y que nadie se atreva a decirme que las ec diferenciales son muy bonitas e interesantes... :D)
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  7. #7
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    Ecuaciones diferenciales autonomas

    Acabo de darme cuenta... las ecuaciones autónomas son ecuaciones en variables separadas asi que es muy fácil resolverlas,supongo que de ahí vendrá su interés.
    x'(t) = t



    Este ejemplo no hacía falta resolverlo por el método de las variables separadas, pero es para indicar que todas las ec autónomas se pueden resolver así.
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  8. #8
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    Ecuaciones diferenciales autonomas

    Precisamente el ejemplo que comentas no es una ec dif autónoma y separas las variables, jeje.

    Según mi libro las autónomas son las únicas que cumplen que:


    Si no me he equivocado. Pero no sé que aporta esto...o sí!!!!!!!!!!!! ¿No será que para cada par existe un valor de t y solo uno. Es decir, la trayectorias formadas por (x, v(x)) no se cruza.

    Aunque esto es un poco conjetura, alguna opinión?
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  9. #9
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    Ecuaciones diferenciales autonomas

    Jajaja. Tienes toda la razón, justamente fui a poner el ejemplo con una no autónoma :doh:
    Pero lo que quería decir es que todas las autónomas pueden resolverse así, de hecho es lo mismo que dice tu condición.
    El méto de resolución de variables separadas es:


    y eso es equivalente a:



    En cuanto a las trayectorias, no tengo ni idea :oops:, no estoy acostumbrada a interpretar nada, prefiero lo abstracto :D
    ¿Al decir que no se cruzan te refieres a que la trayectoria sea la envolvente de las velocidades? No sé si eso tendrá que ver con que sea o no autónoma...
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