Derivada de un vector

[mifkop]

Espero no estar preguntando una tontería... pero como se deriva un vector?
Ejemplo:

Cuanto valdría su derivada?

[Charlie_]

Igual que una función pero cada componente por separado. De hecho es lo que haces en cinemática general para calcular velocidades instantáneas y todo eso.
Por ejemplo:





Salu2

[n0mad]

Recuerda que has puesto constantes.
Si fuese creo que es asi.

Esto es para entendernos, en realidad en hay que usar 3 variables y habria que usar derivadas parciales. Seria algo asi como dejar todas fijas (como si fuesen constantes) y derivar solo respecto a la que te pide el diferencial.

[mifkop]

:umm:

[MiGUi]

Los vectores se derivan componente a componente:

En un caso sencillo, 3D, supongamos el vector , entonces:



Las derivadas son funciones escalares, y no tiene por qué ser una derivación parcial, para verlo basta utilizar la definición de diferencial por ejemplo para una función escalar de 3 variables.



Si ahora nos preguntamos por la variación global de f con respecto a 'x', podemos "dividir por dx" y tenemos:



La derivada total de la función analiza la variación de todas las formas posibles, incluída la derivada local (o parcial) de f con respecto a x.

Es decir, que tiene sentido hablar de derivada total aún cuando no estamos en una variable.

[Cyrock]

miguel,

...no??

[MiGUi]

Si son ortogonales sí, pero si las variables dependen entre sí (cosa no demasiado rara) entonces no.

[leach]

Espero no estar preguntando una tontería... pero como se deriva un vector?
Ejemplo:

Cuanto valdría su derivada?

Tu pregunta está planteada sólo a medias, y por eso ha sembrado un poco de confusión. Cuando preguntas por la derivada de un vector, estás asumiendo que ese vector varía (si no varía, su derivada será cero, en cualquier caso). Ahora, ¿cómo varía ese vector?

En otras palabras, lo que se deriva no son los vectores, sino las funciones. Y las funciones tienen un dominio (espacio de salida) y un rango (espacio de llegada). Por ejemplo, no es lo mismo calcular la derivada de una función:



que de otra

.

En el primer caso, como el problema sólo depende de una variable, bastará hacer la derivada componente a componente, tal y como decían Charlie_, Miguel, etc. Sin embargo, en el segundo caso lo que te aparece al diferenciar (ya no derivar) es una matriz jacobiana, y en esta situación ocurre lo que dice Miguel: la derivada ya no es un vector, puesto que para obtener un vector debes hacer una derivada direccional, y en ese caso aparecen correlaciones entre las coordenadas (es decir, las direcciones de derivación).

En realidad se trata de un asunto muy sencillo. No pienses que estás derivando un vector: eso no tiene sentido. En vez de ello, piensa que estás derivando una función, motivo por el cual tendrás que tener en cuenta el dominio, y no sólo el rango. La derivada de una función entre dos espacios es siempre una matriz, asociada a una aplicación lineal entre esos dos espacios. Por tanto, la respuesta general a tu pregunta es: la derivada de un vector, en general, es una matriz.