Átomo de hidrógeno.

[hache nu]

Al usar el método de separación de variables en la resolución de la ecuación de Schrödinger llegamos a la ecuación



La solución general a esta ecuación es , sin embargo se escoge . ¿Esta elección es para que sea autofunción de ?

[Albireo]

Mmm... Realmente la ecuación que se tiene es: , donde C es una constante de separación que aparece al separar las variables.

Lo que se hace es imponer periodicidad en la dependencia de la función de onda con el ángulo éste: . Al hacerlo, no hay más huevos a que C sea de la forma -k2, siendo las soluciones de la forma ( es una constante de normalización, creo que era uno partido por la raíz de dos pi).
Y sí, de entre todas las combinaciones lineales posibles se escogen esas dos soluciones para que sean autofunciones de


P.D.: ¿Cómo le has puesto el gorrito al operador Lz, he estado trasteando con el editor de LaTeX y no lo he encontrado XD

[n0mad]

Mmm... Realmente la ecuación que se tiene es: , donde C es una constante de separación que aparece al separar las variables.

Lo que se hace es imponer periodicidad en la dependencia de la función de onda con el ángulo éste: . Al hacerlo, no hay más huevos a que C sea de la forma -k2, siendo las soluciones de la forma ( es una constante de normalización, creo que era uno partido por la raíz de dos pi).
Y sí, de entre todas las combinaciones lineales posibles se escogen esas dos soluciones para que sean autofunciones de


P.D.: ¿Cómo le has puesto el gorrito al operador Lz, he estado trasteando con el editor de LaTeX y no lo he encontrado XD

Podrias justificar la imposicion de esa condicion de contorno?

[hache nu]

Y sí, de entre todas las combinaciones lineales posibles se escogen esas dos soluciones para que sean autofunciones de

Gracias, era lo que sospechaba.

P.D.: ¿Cómo le has puesto el gorrito al operador Lz, he estado trasteando con el editor de LaTeX y no lo he encontrado XD

\hat{L}_z

Lo que se hace es imponer periodicidad en la dependencia de la función de onda con el ángulo éste: .

Podrias justificar la imposicion de esa condicion de contorno?

¿La condición no es ?

[n0mad]

¿La condición no es ?

Eso seria imponer que la funcion de onda sea periodica, maxwell esta haciendo mas que eso. Esta imponiendo que la solucion sea univaluada. Sin embargo no hay ningun motivo ni fisico ni matematico para hacer tal cosa, un estado se representa matematicamente por un rayo de un espacio de Hilbert, de manera que se tiene la siguiente relacion de equivalencia . Perfectamente podriamos tener que al dar una vuelta la funcion de onda cambiase en una fase, experimentalmente tenemos acceso a cantidades como que quedan inalteradas por dichos cambios de fase. Ni tampoco podemos justificarlo fisicamente puesto que la funcion de onda ni es observable ni vive en el espaciotiempo.

[Smaigol]

@n0mad: Mamón En realidad la condición de continuidad es algo fácil de justificar:La función de onda es , y por tanto ha de ser univaluada: Es el producto en el hilbert de un cierto bra por un cierto ket, y punto. Aún así, podríamos librarnos de la condición de que k ha de ser entero si permitiéramos discontinuidades en ciertos puntos; pero las autofunciones del operador Lz visto como un operador diferencial en R^3 son todas continuas, así que esto no es posible y recuperamos la condición.

Pero evidentemente no es algo tan sencillo como "ha de valer lo mismo si lo giro 2pi". Las coordenadas cilíndricas son un difeomorfismo de R3-{0} en R2x[0,2pi), no tiene sentido siquiera hablar del valor de la función de onda para valores del ángulo mayores que 2pi.

[n0mad]

@n0mad: Mamón En realidad la condición de continuidad es algo fácil de justificar:La función de onda es , y por tanto ha de ser univaluada: Es el producto en el hilbert de un cierto bra por un cierto ket, y punto. Aún así, podríamos librarnos de la condición de que k ha de ser entero si permitiéramos discontinuidades en ciertos puntos; pero las autofunciones del operador Lz visto como un operador diferencial en R^3 son todas continuas, así que esto no es posible y recuperamos la condición.

Pero evidentemente no es algo tan sencillo como "ha de valer lo mismo si lo giro 2pi". Las coordenadas cilíndricas son un difeomorfismo de R3-{0} en R2x[0,2pi), no tiene sentido siquiera hablar del valor de la función de onda para valores del ángulo mayores que 2pi.

es la representacion en determinada base de la funcion de onda, pero ya en el propio espacio de estados uno tiene la identificacion , todos esos puntos del Hilbert son indistinguibles. Son el mismo punto del espacio proyectivo que es el que realmente juega un papel importante en la formulacion. Si pudieses utilizar argumentos fisicos para imponer que la funcion de onda sea univaluada podrias utilizarlos para imponer lo mismo para la funcion de onda de spin de un electron que como bien se sabe es bivaluada.

[Smaigol]

Es que son dos cosas que no tienen que ver. La identificación que dices se ve en coordenadas como que si tengo una
y multiplico por una fase global las cosas no cambian. Pero para cualquier estado dado, no puede ser multivaluado, es una función de R^3 en R.

La función de onda del spin de un electron ES univaluada. Es decir, el producto interno de un estado cualquiera del electrón con cualquier bra de mi base es un número concreto. Otra cosa es que al realizar una rotación cambie de signo (es decir, el estado se transforma en otro que resulta ser el mismo que el original cambiado de signo), y como bien dices eso no afecta a la física porque corresponde a cambiar el estado por una fase.

Pero en el ejemplo que aquí se discute, no estamos rotando nada: Tenemos un vector de estado, el que sea, fijo. Resulta que si queremos permitir valores de k distintos de enteros, tenemos que admitir una discontinuidad en algún punto (más bien, en una semirrecta que sale del origen). Y eso no puede ser por las propiedades del operador diferencial que estamos tratando. Así que k ha de ser entero. Se puede ver de otras formas distintas (por ejemplo en el cap.7 del Ballentine), pero la idea detrás es la misma.

Para mí, la "chicha" que tiene este asunto es que te lo suelen vender como que la función de onda tiene que ser univaluada frente a rotaciones, y por tanto imponemos la condición esa. Pero eso es falso, como demuestra el ejemplo : Si nos olvidamos por un momento de la discontinuidad que tiene en el origen, es una función de onda perfectamente definida, y univaluada. El problema viene si cometemos el error naive de extender el ángulo en cilíndricas más allá de 2pi.

[Nissan]

Eso seria imponer que la funcion de onda sea periodica, maxwell esta haciendo mas que eso. Esta imponiendo que la solucion sea univaluada. Sin embargo no hay ningun motivo ni fisico ni matematico para hacer tal cosa, un estado se representa matematicamente por un rayo de un espacio de Hilbert, de manera que se tiene la siguiente relacion de equivalencia . Perfectamente podriamos tener que al dar una vuelta la funcion de onda cambiase en una fase, experimentalmente tenemos acceso a cantidades como que quedan inalteradas por dichos cambios de fase. Ni tampoco podemos justificarlo fisicamente puesto que la funcion de onda ni es observable ni vive en el espaciotiempo.

Asi a bote pronto no impone (para una funcion arbitraria) que sea periodica (por ejemplo lo cumple y no es periodica). Si se quiere que la coordenada sea un angulo debe tenerse la relacion de equivalencia y se evalua sobre las clases de equivalencia de la relacion anterior de forma univoca, , cumpliendose por tanto .

En cuanto al otro tema, solo lo he leido por encima, pero encualquier caso, creo que lo correcto es trabajar con las clases de equivalencia de los rayos, con lo que los problemas de fases y tal se eliminan, ya que se absorben dentro del representante de la clase de equivalencia.

[n0mad]

Asi a bote pronto no impone (para una funcion arbitraria) que sea periodica (por ejemplo lo cumple y no es periodica). Si se quiere que la coordenada sea un angulo debe tenerse la relacion de equivalencia y se evalua sobre las clases de equivalencia de la relacion anterior de forma univoca, , cumpliendose por tanto .

En cuanto al otro tema, solo lo he leido por encima, pero encualquier caso, creo que lo correcto es trabajar con las clases de equivalencia de los rayos, con lo que los problemas de fases y tal se eliminan, ya que se absorben dentro del representante de la clase de equivalencia.

Tienes razon nissan, para imponer periodicidad y univaluacion en efecto hay que imponer .

Volviendo a la discusion: En el formalismo de la cuantica uno no puede justificar que la funcion de onda deba ser univaluada, un estado fisico es toda una clase de equivalencia de funciones de onda.

Otra cosa es que al realizar una rotación cambie de signo (es decir, el estado se transforma en otro que resulta ser el mismo que el original cambiado de signo), y como bien dices eso no afecta a la física porque corresponde a cambiar el estado por una fase.

Yo puedo interpretar dicha rotacion como una rotacion pasiva que afecta a las coordenadas y deja inalterada la funcion de onda. En cuyo caso al rotar vuelvo al mismo punto ya que para coordenadas esfericas se tiene . Pero la funcion de onda ha cambiado de signo.