Demostracion criterio raiz

[yoso]

Hola!

Me gustaria saber cual es la demostracion del criterio de la raiz que dice que:
Si (A_n) es una sucesion de numeros reales positivos tal que

\lim_{n\rightarrow\infty} \frac {A_n} {A_(n-1)}= L
se cumple que:

\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt {A_n}= L (La raiz es n-esima, que no se ponerlo en TeX)

Supongo que sera teniendo en cuenta el criterio de la media geometrica :???:

[leach]

He aquí una demostración rápida. Los detalles formales (como los que te pedirían en un examen) son fáciles de suplementar.

Sea:

\lim_{n\to\infty}\, a_n/a_{n-1} \quad = \quad L

Tomemos un \epsilon > 0 arbitrariamente pequeño, sabemos que existe un n_0>0 tal que si n>n_0 entonces:

\left\vert\frac{a_n}{a_{n-1}} \ - \ L \right\vert \quad < \quad \epsilon

en otras palabras:

L-\epsilon \quad < \quad \frac{a_n}{a_{n-1}} \quad < \quad L+\epsilon

Ahora observemos que:

\frac{a_n}{a_{n_0}} \quad = \quad
\frac{a_n}{a_{n-1}}\, \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\, \frac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\, \cdots \, \frac{a_{n_0+1}}{a_{n_0}}
\quad < \quad
\left(L + \epsilon\right)\, \left(L + \epsilon\right)\, \left(L + \epsilon\right)\, \cdots \, \left(L + \epsilon\right) \quad = \quad
\left(L+\epsilon\right)^{n-n_0}


Es decir, que:

a_n \quad < \quad \left(L+\epsilon\right)^n\, a_{n_0}\left(L+\epsilon\right)^{-n_0}

por lo tanto, llegamos a la conclusión de que para todo n>n_0 se tiene:

\sqrt[n]{a_n} \quad < \quad \left(L+\epsilon\right)\, \sqrt[n]{a_{n_0}\left(L+\epsilon)^{-n_0}}

Por lo tanto, puedes tomar el límite superior para obtener:

\mathrm{lim\ sup}_{n\to\infty} \ \sqrt[n]{a_n} \quad < \quad \left(L+\epsilon\right)

esta relación vale para todo \epsilon > 0, luego tenemos que:

\mathrm{lim\ sup}_{n\to\infty} \ \sqrt[n]{a_n} \quad \le \quad L

Razonando de manera totalmente análoga llegas a la conclusión de que:

\mathrm{lim\ inf}_{n\to\infty} \ \sqrt[n]{a_n} \quad \ge \quad L

Por lo tanto, existe \lim_{n\to\infty}\, a_n, y es igual a L.