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Ver la versión completa : números complejos



Concha
21/02/2010, 21:59
Hola de nuevo!

tengo un problema, al que no consigo llegar a la solución correcta, el anunciado es el siguiente:

¿A qué número complejo es igual (3+i)(cos 60º + i sen60º)(cos 30º + i sen 30º)?

esto seria equivalente a : (3+i) (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) ¿no es así?
si para resolver esta multiplicación aplico la definición de multiplicación, tengo que hacerlo multiplicando de dos en dos los números complejos ¿es así?

entonces, por ej.: (\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}) (3\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} cómo sigo?

Los resultados posibles que aparecen:
a) \sqrt{2}+\sqrt{8i}
b) -3-i
c) 3 i
d) -1+3 i

gm
21/02/2010, 22:16
Hola, Concha



...esto seria equivalente a : (3+i) (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) ¿no es así?


Sí.



entonces, por ej.: (\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}) (3\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} cómo sigo?


¡Ten cuidado! Debes usar las leyes conmutativa, distributivas, asociativas y tener en cuenta que i\sp{2}=-1; por ejemplo:

\begin{align*}(3+i)\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{ 3}}{2}\right) &= 3\cdot\frac{1}{2}+3i\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2 }+i\sp{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}+\fra c{1}{2}\right)\\&=\frac{3-\sqrt{3}}{2}+i\frac{3\sqrt{3}+1}{2}\end{align*}.

Para terminar, te falta realizar el producto

\left(\frac{3-\sqrt{3}}{2}+i\frac{3\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(\f rac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right).

Efectúalo siguiendo las indicaciones que te di y cuéntanos qué obtuviste.

Concha
22/02/2010, 21:34
Hola, gracias por tu ayuda,
te escribo el desarrollo del producto:
\left ( \frac{3\sqrt{3}}{2} +i\frac{3\sqrt{3+1}}{2}\right )\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \right )=\frac{3^2-\left ( \sqrt{3}\right )^2}{4}+i\left ( \frac{3\sqrt{3}}{4} \right )+\frac{3\sqrt{3}+1}{4}+i\left ( \frac{3\left ( \sqrt{3} \right )^2+1}{2} \right )=\frac{9-3}{4}-\frac{3\sqrt{3}+1}{4}+i^25\left ( \frac{3\sqrt{3}}{4} \right )=\frac{6-\sqrt{3}}{4}+\frac{-15-\sqrt{3}}{4}

¿lo llevo bien?, creo que no... hay algo en que fallo ¿signos?¿despejes?...

gm
22/02/2010, 22:08
Hola, gracias por tu ayuda,
te escribo el desarrollo del producto:
\left ( \frac{3\sqrt{3}}{2} +i\frac{3\sqrt{3+1}}{2}\right )\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \right )=\frac{3^2-\left ( \sqrt{3}\right )^2}{4}+i\left ( \frac{3\sqrt{3}}{4} \right )+\frac{3\sqrt{3}+1}{4}+i\left ( \frac{3\left ( \sqrt{3} \right )^2+1}{2} \right )=\frac{9-3}{4}-\frac{3\sqrt{3}+1}{4}+i^25\left ( \frac{3\sqrt{3}}{4} \right )=\frac{6-\sqrt{3}}{4}+\frac{-15-\sqrt{3}}{4}

¿lo llevo bien?, creo que no... hay algo en que fallo ¿signos?¿despejes?...


Hay algunos errores (unos tipográficos y otros operacionales; claro, refiriéndome al producto que indiqué que debía realizarse antes); una pista:

\begin{align*}\left(\frac{3-\sqrt{3}}{2}+i\frac{3\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(\f rac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right) &= \left(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right)\frac{\sqrt{3}}{2}+i\left(\frac {3-\sqrt{3}}{2}\right)\frac{1}{2}+i\left(\frac{3\sqrt {3}+1}{2}\right)\frac{\sqrt{3}}{2}+i\sp{2}\left(\f rac{3\sqrt{3}+1}{2}\right)\frac{1}{2}\\&=\left(\frac{3\sqrt{3}-3}{4}-\frac{3\sqrt{3}+1}{4}\right)+i\left(\frac{3-\sqrt{3}}{4}+\frac{9+\sqrt{3}}{4}\right)\end{align *}

darthyoda
23/02/2010, 05:44
Ese es el método general, pero la cosa se simplifica bastante teniendo en cuenta: e^{ix}=cos(x)+isen(x)

Concha
23/02/2010, 17:21
Creo que lo tengo:

\left ( \frac{3\sqrt{3-3}}{4}-\frac{3\sqrt{3}+1}{4}+\left ( \frac{3-\sqrt{3}}{4}+\frac{9+\sqrt{3}}{4} \right \right )=\frac{-4}{4}+i\frac{12}{4}=-1+i3

ya está ¿verdad?

voy a seguir practicando, gracias.
Respecto a la fórmula e^i^x=cos(x)+isen(x), me podriais dar alguna pista porque no sé qué hacer con el enunciado para poder aplicarla, o indicarme algun tutorial sencillo para poder investigar.

Muchas gracias

Concha
23/02/2010, 17:49
Los ejercicios similares al expuesto anteriormente, por fin me salen (por lo menos los que he hecho), pero de repente me he encontrado este que parecia sencillo, pero no sé dónde tengo el fallo, ¿me echais un vistazo :o?

El número es este: \frac{1^1^7\left ( 1-i \right )}{2+i}

teniendo en cuenta que i^4=i^2.i^2=\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )=1
entonces

i^1^7=\left ( i^4)^4i=1+i

¿la solución seria \frac{1+i}{2+i}?

darthyoda
23/02/2010, 17:50
fíjate que según esa fórmula tienes:
(cos 60^\circ + i sen 60^\circ)(cos 30^\circ + i sen 30^\circ) = e^{i 60^\circ} e^{i 30^\circ} = e^{i (60^\circ + 30^\circ)} = e^{i90^\circ} = i

Si no entiendes el último paso investiga algo por ahí de la exponencial compleja, y échale un vistazo a esta imagen: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Euler%27s_formula.svg, aunque en vez de grados sexagesimales se suelen utilizar radianes, de forma que
e^{i \frac{\pi}{2}}=i
e^{i \pi}= -1
e^{i \frac{3 \pi}{2}}= -i
e^{i 2 \pi}= e^{i 0} =1

Nexus 7
23/02/2010, 18:19
Me gustaría marcarte un detalle: i^{17}=\left ( i^4)^4i=1 \cdot i = i

Pero como luego das la respuesta correcta, he de entender que solo fue un desliz al escribir tu mensaje.

Saludos.

Concha
23/02/2010, 21:21
Si, cierto es, ha sido un desliz pero aún así la respuesta no esta bien, ya que me dan como posibles respuestas:
a) \frac{3+i}{5}
b) \frac{1-i}{3}
c) -i
d) 1

:-\

graviton
23/02/2010, 21:51
Es que tienes que eliminar la i del denominador, y se hace multiplicando y dividiendo por el conjugado:

\frac{1+i}{2+i}=\frac{1+i}{2+i}\frac{2-i}{2-i}=\frac{3+i}{5}

PD: bienvenida al foro.