Teorema de Gauss

[Smaigol]

Hola.
No consigo pillar del todo el teorema, aunque creo que lo entiendo conceptualmente, por lo que abro este tema para que me digáis si mis elucubraciones son correctas o no y si hay alguna web con una demostración formal(la primera vez que wolfrm me falla)
Primero, se define la divergencia como:
\nabla \cdot F=\lim_{V\rightarrow0}\frac{\int_SF \cdot da}{V}
Segun entiendo esto viene a significar la "densidad"(entendiendo la densidad como df/dV) de lo que sea que representa la función (masa, densidad...)que "sale" del volumen V,que tiende a 0. Entonces si tenemos un volumen del espacio, la cantidad de masa que sale de una region infinitesimal dentro del mismo va a parar a otra reion infinitesimal tambien en el volumen, por lo que a la hora de medir el cambio en la region en su conjunto solo hay que tener en cuenta aquellas regiones infinitesimales que no tiene otra adyacente dentro del volumen, es decir, las de la superficie.Así que intuitivamente:

\int_V(\nabla \cdot F)dV=\int_{S}F\cdot da


Me parece este un razonamiento un poco pillado y no sé si esta bien, o si he entendido mal algun concepto. He encontrado por ahí una demostración del teorema bastante sencilla para el caso en que la region V sea un cubo orientado en la misma direccion que los ejes, pero estoy interesado en el caso general.
:h:
P.S:¿Alguien sabe como poner en latex la integral sobre camino cerrado?
Editado:Una erratilla

[MiGUi]

Lo primero, es que la divergencia es el producto escalar del operador nabla con un vector.

\vec \nabla = \frac{\partial }{\partial x_j} \vec e_j

\vec \nabla \cdot \vec F= \frac{\partial \vec F}{\partial x_1} \cdot \vec e_1 + \frac{\partial \vec F}{\partial x_2} \cdot \vec e_2 + \ldots \frac{\partial \vec F}{\partial x_k} \cdot \vec e_k

El teorema de Gauss, también conocido como teorema de la divergencia:

Sea V una región del espacio cuya frontera es \sigma, entonces la integral extendida al volumen V de la divergencia de un vector F, coincide con la integral de superficie del vector F sobre sigma.

\int_V \vec \nabla \cdot \vec F dV = \oint_\sigma \vec F d \hat n

La demostración de este teorema la puedes encontrar en algún libro de Cálculo
como el Larson,Hostetler y Edwards vol. 2

Hay un post en este enlace http://foro.meteored.com/index.php/topic,4009.15.html donde lo explica bastante bien.

[Smaigol]

Lo primero, es que la divergencia es el producto escalar del operador nabla con un vector.

\vec \nabla = \frac{\partial }{\partial x_j} \vec e_j

\vec \nabla \cdot \vec F= \frac{\partial \vec F}{\partial x_1} \cdot \vec e_1 + \frac{\partial \vec F}{\partial x_2} \cdot \vec e_2 + \ldots \frac{\partial \vec F}{\partial x_k} \cdot \vec e_k



En wolfram dan la definición de divergencia que yo puse arriba.Luego dicen que al considerar un cubo infinitesimal orientado en la dirección de los ejes, el flujo neto de "contenido" saliendo del cubo es igual a la suma de las diferencias en los valores de la funcion F en los tres conjuntos de lados paralelos.Si (F=f_x,f_y,f_z) entonces lo dicho arriba adquiere la forma de:
\frac{\partial f_x}{\partial x}+\frac{\partial f_y}{\partial y}+\frac{\partial f_z}{\partial z}
Que es justo el origen de representar la divergencia como el producto escalar de nabla por la funcion.
Lo que yo no sé si tengo claro es el concepto de divergencia(creo que sí, pero no estoy seguro), aunque el ]http://mathworld.wolfram.com/Divergence.html[/url]
:h:
Ah, y gracias por el codio de la integral en camino cerrado.

[leach]

Hola. Para planteamientos simples del teorema de Gauss, consulta la wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem

Y más en concreto, la ley de Gauss, que se ha usado para la gravedad en la prueba que di en el hilo de física clásica:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law

Todavía más en concreto, uno de los "external links" de este artículo de la wikipedia lleva a la aplicación de la ley de Gauss cuando hay simetría esférica, aunque por algún motivo es terriblemente lento de descargar.

Por fin he conseguido bajar el artículo, y está muy bien. Creo que es bastante adecuado para aprender lo más fundamental del teorema de Gauss sin meterse en cuestiones de cálculo exterior (divergencias, etc.)

[Cyrock]

Teneis que tener una lista de favoritos interminable. ¿Clasificais una página cada vez que encontrais algo interesante?

[MiGUi]

Yo tengo algunas referencias grabadas a fuego en mi mente. No uso los favoritos salvo que las direcciones sean muy largas. Por ejemplo, para visitar al tito wolfram no me hace falta ir a los favoritos xD

[Cyrock]

No me creo que memorices

"http://foro.meteored.com/index.php/topic,4009.15.html"

:-P

[MiGUi]

No me creo que memorices

"http://foro.meteored.com/index.php/topic,4009.15.html"

:-P

Just Google :P