El muelle y su ecuación diferencial

Hola!

En el libro de fisica de segundo de bachillerato me explican la dinámica del movimiento armónico simple de un muelle.

Para conseguir la ecuación del moviemiento utilizan la ley de Hooke y la 2ª Ley de Newton

F=-ky(En este caso el muelle está orientado en el eje vertical)
F=ma

Igualan:
-ky =ma
desarrollan:
ma + ky = 0
Y finalmente llegan a esta ecuación:
\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{k}{m}y(t)=0

Y a partir de aquí el libro ya no explica como se resuelve esta ecuación, sólo ponen el resultado final
y(t)=Asin(\omega t+\varphi_0)

Supongo solucionando y(t) de la ecuación diferencial no deberían salir nuevas letras por arte de magia. Así que supongo que como en el libro pone que \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} la solucíon será del tipo y(t)=Asin(\sqrt{\frac{k}{m}} t+\varphi_0) y ,seguramente,A y \varphi_0 deben ser constantes que deben aparecer cuando se integra o algo así. Pero tal como digo todo són suposiciones :roll:

Por eso me gustaría saber cómo se resuelve la ecuación diferencial si no os parece mucho pedir.

Gracias :)

[Koko]

Hola, la ecuación diferencial del movimiento armónico simple corresponde al siguiente tipo:

y''(x)+ay'(x)+by(x)=0

La solución general de dicha ecuación es:

y(x)=Ay_1(x)+By_2(x)

Donde y1 e y2 son ciertas funciones exponenciales de x.

Estas funciones se obtienen calculando las raíces del polinomio característico de la ecuación:

m^2+am+b=0

Se pueden dar 2 casos:

1) Las raíces son reales, m1 y m2:

Con lo que la solución obtenida es:

y(x)=Ae^{m_1 x}+Be^{m_2 x}

2) Las raíces son complejas, m_1= \alpha+i\beta y m_2 = \alpha-i\beta

Con lo que la solución obtenida es:

y(x)=Ae^{m_1 x}+Be^{m_2 x}=Ae^{(\alpha+i\beta) x}+Be^{(\alpha-i\beta) x}

Que aplicando la ecuación de Euler de los números complejos, hace que la solución quede:

y(x)=e^{\alpha x}[A\sin{\beta x}+B\cos{\beta x}]

Si resuelves tu problema por este procedimiento o sustituyendo los valores de tu caso concreto en esta expresión, verás que se reproduce justamente la ecuación del movimiento armonico, donde A es la amplitud de dicho movimiento. En tu caso también se tiene que:

x=t

\beta=\omega

y el Phi_0 es el ángulo de fase inicial, que tiene el movimiento armónico y que puede ser 0 o cualquier otro valor dependiendo del punto de partida del sistema masa-muelle.

En fin, mas o menos asi quiero recordar que se hacía esto. Si hay algun fallo que alguien lo indique, ok?

Un saludo.

Muchas gracias koko :r:

parece interesante el tema de ecuaciones diferenciales, creo que buscaré más información sobre el tema

Hasta luego