Ecuaciones Malthusianas

[Gato Cuántico]

Necesito saber lo que son las ecuaciones Malthusianas, me convendría una breve introducción a ellas, y conocer su relación con la biología, si es que la hay. No pido la transcripción completa de un tema de algún libro de texto. En fin, a ver si alguien puede echarme un cable, en el google no he encontrado nada satisfactorio.

Gracias

:h:

[leach]

Así echando mano de lo poco que he leído, las ecuaciones Malthusianas se basan el las teorías expuestas por un pensador llamado Malthus, que creo que vivió en el siglo XVIII, y que dijo que las poblaciones (humanas, pero en general de seres vivos) tienden a crecer exponencialmente hasta que algún factor detiene el crecimiento. Las ideas de Malthus fueron expuestas en cierto libro (cuyo nombre no recuerdo), y fue su lectura por Darwin lo que le llevó a sus ideas sobre la selección natural, puesto que de entre todos los seres que se generan exponencialmente, la supervivencia de una pequeña cantidad implica necesariamente un proceso de selección. El otro co-descubridor de la evolución (cuyo nombre ahora tamoco recuerdo :???: ) también fue influido exactamente por el libro de Malthus.

La ecuación de Malthus en su forma diferencial suele escribirse:

\frac{dn}{dt} \quad = \quad k\, n\, \left(M-n\right)

donde k es una constante de crecimiento, y M es el máximo de población que puede nutrir el medio ("población para el creciemiento cero"). n es el número de habitantes, y t es el tiempo.

Es sencillo entender esta ecuación: si n es muy pequeño comparado con M, entonces n(M-n) es aproximadamente igual a nM, y por ello tenemos que la ecuación se comporta como:

\frac{dn}{dt} \quad \sim \quad kM\, n

un crecimiento exponencial de constante kM. Esto quiere decir que cuando la población es pequeña, crece exponencialmente (primera condición de Malths). La constante de crecimiento es kM.

Por otro lado, cuando la población es muy próxima a M, puedes comprobar directamente que el crecimiento tiende a cero, que es la segunda condición de Malths.

Además, si la población es mayor que M, siempre tenderá a decrecer.

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La ecuación de Malthus es fácilmente resoluble, y su solución es:

n(t) \quad = \quad \frac{M}{1 + \alpha\,e^{-kMt}}

donde \alpha es una constante de integración, que determina la población inicial.

Están claras ciertas cosas:

1) Si la población inicial cumple 0<n\le M, entonces tiende a crecer asintónicamente hasta alcanzar la población límite M, primero exponencialmente y luego cada vez más despacio.

2) Si la población inicial cumple n=M, o n=0, entonces permanece constante.

3) Si la población inicial cumple n>M, entonces tiende exponencialmente a decrecer hasta alcanzar M.

Aquí van algunas grafiquillas:

http://img.villagephotos.com/p/2005-6/1027066/garn.gif

Estas soluciones corresponden a M=100, y k=0.0002, de manera que la constante de crecimiento exponencial es kM = 0.02, lo que (si medimos t en años) corresponde a un crecimiento anula del 2.02% de la población cuando no está saturado el medio.

Las curvas lila, amarilla, verde y azul oscuro corresponden a poblaciones iniciales menores que M, y por ello puedes ver que al principio crecen exponencialmente, y que luego pasan por una inflexión y crecen cada vez más despacio. Este comportamiento lo he visto descrito como "sigmoideo".

Las curvas roja y azul claro de arriba corresponden a poblaciones iniciales mayores que M, y como ves decrecen exponencialmente.

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Esto es en esencia lo principal que sé sobre las ecuaciones de Malthus. Ciertas ecuaciones, como las de Lotka-Volterra, tienen alguna relación con la estructura de la de Malthus.

Las ecuaciones de Malthus se han llegado a usar para aproximar la población de países como EEUU, en los que se tienen censos antiguos, y las poblaciones pasaron de crecer a lo bestia (por muchos factores, incluyendo inmigración), hasta llegar a un crecimiento sostenido/estabilizado en las últimas décadas.

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Creo que para más información deberías preguntarle a Mr. Grasas, que seguro que conoce bien estas ecuaciones.

:h:

[Gato Cuántico]

¡Muchas gracias!. Lo poco (según tú) qué sabias es bastante más de lo que me esperaba. A ver si es cierto que Mr.Grasas se pasa por aquí y deja algunos comentarios extra.

¡Saludos! :r:

[leach]

Bueno, mirando por internet (prueba google con "Malthus equation"), veo que alguna gente llama ecuación de Malthus directamente al crecimiento exponencial:

\frac{dn}{dt} \quad = \quad kn

en vez de a la ecuación de crecimiento competitivo que empleé en el post anterior.



No sé si Mr. Grasas pasará mucho por este foro. Creo que le gusta más el de 100cia, pero que también pasa por el foro de biología de MiGUi. Así que voy a cometer un exceso y voy a pasar este hilo al foro de biología, a ver si Mr. Grasas le echa un ojo. --Leach.

[Mr.Grasas]

Hola Chaaaachos!!!!!!!!!!!! :D

Yo de teorías malthusianas ando bte. cojo :( , así que un matemático como Leach puede decir infinitamente más que yo :D . Hace un siglo que no miro nada de Malthus. Sólo deciros que sus ideas se aplicaban sobre todo a la Economía ("Ensayo sobre el Principio de Población"), si no recuerdo mal a las poblaciones humanas y los factores de producción. Sin embargo, su teoría no siempre es un buen reflejo de lo que sucede en la naturaleza ni es fácilmente (pienso que ni siquiera) aplicable al ser humano. Lo que es más importante es su idea central, que como "modelo general" no está nada mal.

Otra cosa, el co-descubridor de la T. de la Evolución, junto con Darwin, era Alfred Russell Wallace

Con respecto a:


No sé si Mr. Grasas pasará mucho por este foro. Creo que le gusta más el de 100cia, pero que también pasa por el foro de biología de MiGUi. Así que voy a cometer un exceso y voy a pasar este hilo al foro de biología, a ver si Mr. Grasas le echa un ojo. --Leach.
Bueno, creo que esto está mejor en matemáticas y que el off-topic de los aditivos estaba mejor aquí (o en química), pero en fin...
Sí que me paso por aquí Leach, pero mi problema es que salvo con Fas y poco más, no tengo con quien discutir temas de biología, así que sólo suelo pasarme a leer lo que escribís... Que por cierto, es bte. mejor que participar... Y más aún cuando sólo podría decir sandeces :D

Saludos cordiales :h: