Ayuda con integral

[Tessla]

Necesito ayuda con la integral de

\int \frac{dx}{(x - 1)\sqrt{x^2 - 4}}

Me recomiendan que haga la sustitucion por t = \frac{1}{x-1}, pero no sé muy bien como hacerla, creo que estoy aplicando el método mal.

Muchas gracias

Editado para poner las ecuaciones en LaTeX

Fdo. Miguel

[leach]

Este tipo de funciones racionales con un radical muchas veces se pueden resolver usando los métodos de Euler (son tres métodos, y puedes encontrarlos en muchos libros sobre integración elemental). La cosa es la siguiente:

Aplica la sustitución:

\sqrt{x^2-2} \quad = \quad x + t

Esto se conoce como primera transformación de Euler, y su intención es eliminar la raíz de la integral sin que aparezcan raíces al sustituir x y dx. De hecho, puedes comprobar que la cosa funciona. Tenemos:

x\quad = \quad -\frac{2+t^2}{2t}

dx\quad = \quad \left(-1+\frac{2+t^2}{2t^2}\right)dt
\quad = \quad \frac{2-t^2}{2t^2}\, dt

y además, sustituyendo la x en la fórmula inicial, resulta:

\sqrt{x^2-2} \quad = \quad -\frac{2+t^2}{2t}+t \quad = \quad
\frac{t^2-2}{2t}

Por lo tanto, la integral queda:

\int\;\frac{1}{(1-x)\sqrt{x^2-2}} \, dx \quad = \quad
\int\; \frac{1}{\frac{2+t^2}{2t}-1}\, \frac{2t}{t^2-2}\,
\frac{2-t^2}{2t^2}\, dt
\quad =


\int\; \frac{2t}{t^2+2t+2}\, \frac{dt}{t}
\quad = \quad
\int\; \frac{2dt}{t^2+2t+2}

Y esta integral es claramente de tipo arco-tangente, así que supongo que la integral final resulta el arcotangente de una función racional en x y \sqrt{x^2-2}, relativamente fácil de calcular a partir de lo que hemos hecho.

:h:

P.D.: La sustitución t = 1/(x-1) no me parece buena. Al menos yo no saco nada de ahí.

[Cyrock]

Muy buena leach, aunque era \sqrt{x^2-4} pero bueno, no cambia el método.

Una preguntita: ¿todos los caminos llevan a Roma?
Es que yo había intentado hacer la integral y con el cambio recomendado no me salía, entonces, al ver el que tu proponias lo intenté hacer sin mirar "la solución". Como habias puesto un "2" dentro de la raiz en lugar de un "4", no me percaté de que la idea era sustituir toda la raiz de golpe...por lo que sustituido directamente la expresión de x en función de t dentro de la raiz. Claro, me quedaba algo horroroso (desde mi punto de vista) ahi dentro. ¿Pero supuestamente podría llegar a resolverlo de esta manera? ¿o es un camino sin salida?

Gracias por anticipado :h:

[Tessla]

Este tipo de funciones racionales con un radical muchas veces se pueden resolver usando los métodos de Euler (son tres métodos, y puedes encontrarlos en muchos libros sobre integración elemental).

He estado mirando y no he encontrado nada de los mismos. ¿Podrías hablarme de ellos?

[leach]

Una preguntita: ¿todos los caminos llevan a Roma?
Es que yo había intentado hacer la integral y con el cambio recomendado no me salía, entonces, al ver el que tu proponias lo intenté hacer sin mirar "la solución". Como habias puesto un "2" dentro de la raiz en lugar de un "4", no me percaté de que la idea era sustituir toda la raiz de golpe...por lo que sustituido directamente la expresión de x en función de t dentro de la raiz. Claro, me quedaba algo horroroso (desde mi punto de vista) ahi dentro. ¿Pero supuestamente podría llegar a resolverlo de esta manera? ¿o es un camino sin salida?

Vaya, tienes razón, menudo error más tonto.

Como ya dije, la idea es eliminar los radicales de la integral una vez que está transformada. Eso hace que estos cambios de variables sean bastante específicos y que no funcionen bien para otros radicales.

La idea general de este método es que si tenemos un término radical:

\sqrt{ax^2 + bx + c}

en la integral, y suponemos que a>0, entonces podemos hacer el cambio.

\sqrt{ax^2+bx+c} \quad = \quad \sqrt{a}\,x \ + \ t

Si elevamos al cuadrado y despejamos, resulta que los términos en x^2 se cancelan, y por ello nos queda:

bx + c \quad = \quad 2\sqrt{a}xt + t^2

por lo tanto, podemos despejar x sin que aparezcan raíces cuadradas:

x \quad = \quad \frac{t^2 - c}{b - 2\sqrt{a}t}

y por ello tampoco en la sustitución de dx aparecerán raíces cuadradas. En pocas palabras, este cambio de variables convierte la integral inicial en una integral puramente racional, que siempre es resoluble.

Habréis observado que para aplicar este método tiene que ser a>0. Si fuese a<0 aparecerían otros dos métodos, dependiendo de si c es positivo o negativo. En total tenemos los tres métodos de Euler.

---------

Para el caso concreto al que se referia Tessla, tenemos:

\sqrt{x^2-4}\quad = \quad x + t

y por tanto:

x \quad = \quad \frac{4-t^2}{2t}

y el resto del cambio de variables sale directamente de aquí. La cosa debería salir muy semejante al caso que resolví.


He estado mirando y no he encontrado nada de los mismos. ¿Podrías hablarme de ellos
Dame un día o así, si no te resulta muy urgente, y si se me olvida pégame un recordatorio. En estos momentos estoy bastante holgazán, y no tengo muchas ganas de escribir el tocho, pero en las próximas 24 horas posiblemente encuentre un rato para hacerlo. Las ideas generales están escritas arriba, de todos modos.

[greengrass]

Hola Tessla.

El método que te han sugerido y señalas en el mensaje inicial, es también útil.


En general las integrales del tipo


I = \int \frac{dx}{\left(Ax+B \right)^n \sqrt{ax^2+bx+c}}


con n natural pueden resolverse mediante el cambio de variable


Ax+B = 1/t


ya que con el mismo


x = \frac{1-Bt}{At}


dx = - dt/At^2


ax^2+bx+c = \frac{\left(aB^2-bAB+cA^2 \right) t^2 + (bA-2aB)t + a}{A^2t^2} \equiv

\equiv \frac {a_1t^2 + b_1t+c_1}{A^2t^2}


de manera tal que


I = \int \frac{- dt/At^2}{\left(1/t^n \right) \sqrt{a_1x^2+b_1x+c_1}/At} =

= \int \frac{t^{n-1}dt}{\sqrt {a_1t^2+b_1t+c_1}}.


Finalmente, ésta se puede resolver mediante el que alguna vez he oido denominar como método alemán para integrales trinomias, el cual establece que


\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} =

=Q_{n-1} \sqrt{ax^2+bx+c} + a_0 \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}


donde P y Q son polinomios de los grados que sus respectivos subíndices indican, el segundo con coeficientes indeterminados, igual que a_0, todos los cuales se hallan derivando la última igualdad, reduciendo a común denominador, eliminando éste e identificando términos semejantes.
El radicando de la integral restante se puede escribir, completando cuadrados, de alguna de las formas x^2 \pm r^2 o r^2 - x^2, reduciéndose así a una integral inmediata.


No obstante, tu caso, en el que n = 1, es particularmente sencillo, pues entonces no hace falta la aplicación del método alemán, por cuanto la inicial sustitución conduce a


I = \int \frac{dt}{\sqrt {a_1t^2+b_1t+c_1}}


una integral elemental por el procedimiento de completar cuadrados.



x

[greengrass]

La sustituciones de Euler transforman en racionales las integrales del tipo


\int R \left( x, \sqrt{ax^2+bx+c} \right) dx


donde R es una función racional. Son las siguientes:




Primera sustitución


Aplicable cuando a>0


\sqrt {ax^2+bx+c} = \sqrt{a} \cdot x + t


mediante la que


x = \frac{t^2-c}{b-2 \sqrt{a} \cdot t}


\sqrt {ax^2+bx+c} = - \frac {\sqrt{a} \cdot t^2-bt+c \sqrt{a}}{b-2 \sqrt{a} \cdot t}


dx = -2 \frac{\sqrt{a} \cdot t^2 - bt + c \sqrt{a}}{\left( b-2 \sqrt{a} \cdot t \right)^2} dt




Segunda sustitución


Aplicable cuando c>0


\sqrt{ax^2+bx+c} = xt + \sqrt {c}


con la que


x = \frac{2 \sqrt{c} \cdot t - b}{a-t^2}


\sqrt{ax^2+bx+c} = \frac{\sqrt{c} \cdot t^2 - bt +a \sqrt{c}}{a-t^2}


dx = 2 \frac{\sqrt{c} \cdot t^2 - bt +a \sqrt{c}}{\left( a-t^2 \right)^2}dt






Tercera sustitución


Aplicable cuando ax^2+bx+c = a(x-p)(x-q)


\sqrt{ax^2+bx+c} = (x-p)t


en cuya virtud


x = \frac{pt^2-aq}{t^2 - a}


\sqrt{ax^2+bx+c} = a(p-q) \frac {t}{t^2-a}


dx = -2a(p-q) \frac{t \cdot dt}{\left(t^2-a \right)^2}




La aplicación al concreto caso que propones ya la ha hecho leach.




Similar a la primera sustitución de Euler, y aplicable en las mismas condiciones, es


\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a}(x-t)


mediante la que


x = \frac{at^2 - c}{2at + b}


\sqrt{ax^2+bx+c} = - \sqrt{a} \cdot \frac{at^2 + bt + c}{2at + b}


dx = 2a \cdot \frac{at^2 + bt + c}{\left(2at + b \right)^2}dt




x