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Ver la versión completa : ¿Qué es un punto en matemáticas? ¿cómo se expresa?



rory
07/09/2008, 20:02
Hola

En otro foro he tenido una discusión y parece curioso comentarlo aquí,¿matemáticamente cómo se define un punto?.La idea intuitiva es señalarlo con el dedo y decir, a ese punto lo expresamos en este sistema de coordenadas mediante un par (x,y).En tres dimensiones pasa lo mismo.

Pero ¿cómo se generaliza?

¿Un punto es lo mismo que sus coordenadas ? ¿entonces en polares un punto puede tener varios pares de coordenadas (es lo mismo (2,pi) que (2, 2pi+pi) )?

Un punto es algo real que vemos pero si tenemos más de 3 dimensiones ¿tiene sentido hablar de puntos?

mat
07/09/2008, 20:28
"Punto" es símplemente una palabra que, por comodidad, se emplea en determinadas circunstancias para designar a los elementos de un cierto conjunto.

Por ejemplo, si tienes un Espacio Topológico (X,T), a los elementos de X se los suele llamar genéricamente "puntos", independientemente de qué sean en cada caso (dependiendo del Espacio Topológico en cuestión, los elementos de X podrían ser polinomios, matrices, funciones, n-uplas de números reales, etc).

Lo mismo para los elementos de un cierto Espacio Vectorial, o Variedad o lo que sea.

rory
07/09/2008, 20:34
Hola mat

Pero no entiendo, cuando se define un espacio vectorial, se hace con dos conjuntos, uno de ellos formado por vectores y otro por escalares, en donde existe una ley de composición interna y externa. Los puntos no aparecen. En álgebra lineal en donde los introducen es en el espacio afín.

Si yo tengo un punto en el espacio, dentro de un sistema de coordenadas, lo puedo expresar de infinitas formas, por ejemplo, en cilíndricas (3,pi,4), se puede expresar de cualquiera de estas formas (3,pi + 2k pi,4) y todas representan el mismo punto.

Si estamos en dimensión cuatro , no sé seguir ¿qué es un punto ahí? ¿no existe?

¿el concepto de punto es sólo para puntos en el espacio o el plano?

Si tenemos una variedad lineal de dimensión 5, por ejemplo P+ \langle(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0, 1,0),(0,0,0,0,1)\rangle

El punto P , que tendrá cinco coordenadas ¿qué es, cómo se define? en el espacio lo podemos señalar con el dedo y decir ese es el punto, ¿pero aquí? ¿un punto es igual a sus coordenadas?

grufey
07/09/2008, 20:46
Un punto simplemente es un elemento de un conjunto, existe independientemente de la dimensión y de las coordenadas, ahora usamos estas para identificarlos. Quiero decir que son entes que viven de forma independiente de las coordenadas.
Respecto a lo que dices de las polares, hay que tomar una determinación (-pi,pi] (0,2pi] para definirlos.

rory
07/09/2008, 20:51
Claro Grufey y si son entes independientes a las coordenadas, ¿qué es un punto expresado con 5 coordenadas?

¿qué es lo que identificas? en el espacio identidicas un punto con sus coordenadas, pero en 5 dimensiones qué es lo que identificas con sus coordenadas


Sobre lo de las polares y el intervalo fundamental sí, vale, pero esa restricción al intervalo fundamental la haces porque quieres porque no están definidas las coordenadas polares sólo al intervalo fundamental.

mat
07/09/2008, 20:58
Hola rory,

la palabra "punto" se suele usar, como digo, en varias circunstancias para designar, por "comodidad", a los elementos del conjunto que estemos tratando.

Si tú tienes un Espacio Vectorial (V,+,.)K, a los elementos del cuerpo K se los suele llamar "escalares" y a los elementos del conjunto V se los suele llamar "vectores", independientemente de qué objetos matemáticos sean en cada ejemplo concreto los elementos de K y los elementos de V. Por ejemplo, en el Espacio Vectorial (K,+,.)K (es decir, el cuerpo K como K-espacio vectorial) tendríamos que "escalares" y "vectores" se refieren a los mismos entes (los elementos del conjunto K ).

En un K-Espacio Afín (A,E,\phi)K, a los elementos del conjunto A se los suele llamar "puntos" independientemente de qué objetos matemáticos sean en cada ejemplo concreto.

Dado que todo K-Espacio Vectorial (V,+,.)K da lugar canónicamente a un K-Espacio Afín (V,V,\phi)K sobre el propio conjunto V, a los "vectores" (elementos del conjunto V) también se les suele llamar "puntos" por comodidad dependiendo de las circunstancias.

También a los elementos de un Espacio Topológico (X,T) se los suele llamar "puntos", independientemente de qué objetos matemáticos sean en cada ejemplo concreto.

Toda Variedad Topológica, Variedad Diferenciable, Variedad Riemanniana....son casos particulares de Espacios Topológicos, por tanto dada una Variedad M, a los elementos de M también se los suele llamar "puntos", (independientemente de que en cada ejemplo concreto de Variedad esos "puntos" sean polinomios, matrices, funciones o lo que sea).

En resumen, la palabra "punto" se suele emplear, por comodidad, para designar a los elementos de ciertos conjuntos en determinadas circunstancias.

mat
07/09/2008, 21:04
Claro Grufey y si son entes independientes a las coordenadas, ¿qué es un punto expresado con 5 coordenadas?

¿qué es lo que identificas? en el espacio identidicas un punto con sus coordenadas, pero en 5 dimensiones qué es lo que identificas con sus coordenadas


Si tienes "un punto expresado con 5 coordenadas" es porque ANTES tendrás un Espacio Vectorial concreto de dimensión 5 o una Variedad Topológica (o Diferenciable, o lo que sea) concreta de dimensión 5, a cuyos elementos estás llamando "puntos".

grufey
07/09/2008, 21:07
Te puedes hacer la misma pregunta sobre un punto en 3 dimensiones, ¿Qué es un punto en tres dimensiones? Ciertamente identificas el punto con sus coordenadas pero haces un cambio de base y tiene otras completamente distintas . En 5 dimensiones igual. Ahora estos puntos viven en un espacio y para identificarlos tiens que definir primero el espacio. Pero ¿qué es ese punto?, pues simplemente un elemento del plano o del espacio. Ahora en 5 dimensiones al no poder visualizarlas, plantearse unas cilindricas o unas esféricas no tiene tanto sentido, bueno igual podria tenerlo no lo se... pero un punto sigue siendo un elemento del conjunto. El punto no representa nada, simplemente es un elemento. Esto en 3 y en 5 dimensiones. Cuando dices las coordenadas (2,1) no estas identificando nada, solo un punto en le espacio. En 5 dimensiones identificas lo mismo solo que identificas algo que no puedes ver geometricamente.

El problema que le veo a esto, es la visualización geometrica.

No se si te estoy entendiendo del todo.

Saludos

rory
07/09/2008, 21:14
Hola mat

Pues no tenía ni idea, o sea que punto y elemento de un conjunto son sinónimas aunque sólo se suele emplear de vez en cuando, pero sin regla general, eso creo haber deducido de tus palabras mat.


Entonces, ¿ qué es un punto en el espacio?

Según tus palabras, es un elemento de un conjunto, al que yo puedo identificar en un sistema de coordenadas.

En cinco dimensiones, yo tengo un elemento llamado punto y lo podré expresar también en un sistema de coordenadas.

¿ cuál es el conjunto de los puntos que vemos con nuestro ojos para después expresarlos en cualquier sistema de coordenadas? ¿cómo se expresa ese conjunto en matemáticas? creo que hay que echar mano de un sistema de referencia para representarlos.

¿pero cómo se extiende esto a dimensiones de 4 ó más?

Edit:cuando escribí este mensaje, sólo estaba un mensaje de mat contestándome. ahora veo otro de mat y de grufey, los contesto después de este.un saludo

mat
07/09/2008, 21:14
Además, como dice gufrey, "un punto de tres coordenadas" NO es un punto del Espacio, sino que será un punto de un determinado conjunto que ANTES se habrá definido.

Por ejemplo, "el punto de coordenadas (1,1,1) " podría ser el polinomio x^2+x+1 en el caso de que la Estructura Matemática a la que pertenece dicho "punto" sea "El \mathbb{R}-Espacio Vectorial de los Polinomios en una Indeterminada con Coeficientes Reales, de grado menor o igual que 2" y que las coordenadas vengan referidas respecto a la Base Canónica de este Espacio Vectorial.

mat
07/09/2008, 21:41
Hola mat

Pues no tenía ni idea, o sea que punto y elemento de un conjunto son sinónimas aunque sólo se suele emplear de vez en cuando, pero sin regla general, eso creo haber deducido de tus palabras mat.


Entonces, ¿ qué es un punto en el espacio?

Es que esa pregunta no tiene sentido matemático. Un "punto del Espacio" no es nada matemático.

Entre las infinitas estructuras matemáticas de todo tipo que hay, tenemos la estructura matemática "Espacio Afín Euclídeo \mathbb{R}^3 " (cuya definición es matemática y por tanto totalmente independiente de cualquier imagen visual) que los físicos pueden usar para modelar el Espacio "real" en determinadas circunstancias, aunque también podríamos usar esa misma estructura para modelar cualquier otra cosa, como el crecimiento de los piojos de una rata.



En cinco dimensiones, yo tengo un elemento llamado punto y lo podré expresar también en un sistema de coordenadas.

NO. Tú no tienes ningún punto. Tú primero consideras una determinada Estructura Matemática (la que te de la gana, según tus propósitos). Por ejemplo, consideremos el Espacio Vectorial Real "\mathbb{R}_4[X]" (El Espacio Vectorial de los polinomios con coeficientes reales en una indeterminada, de grado menor o igual que 4).

Ahora, a sus elementos los llamo "puntos" (en este caso son polinomios). Si tú dices "¿quién es el punto que en la Base Canónica de ese Espacio Vectorial corresponde a las coordenadas (1,0,3,0,1) ? ". Pues será el polinomio x^4+3x^2+1.

Ahora bien, si consideramos cualquier otra estructura matemática, entonces punto significará otra cosa, los elementos de esa otra estructura.

En resumen, primero la Estructura Matemática, y luego a sus elementos los llamamos "puntos".

Y nada de ello tiene nada que ver necesariamente con algo "real". Otra cosa es que los físicos (y los propios matemáticos también) queramos usar en un momento dado una estructura concreta como \mathbb{R}^3 para modelar "el Espacio" (en cuyo caso los "puntos" se interpretarán como "regiones muy pequeñitas del Espacio"), o para modelar un Sistema Químico de 3 magnitudes (en cuyo caso los "puntos" se interpretarán como "estados de dicho Sistema"), o para modelar lo que consideremos oportuno.


¿ cuál es el conjunto de los puntos que vemos con nuestro ojos para después expresarlos en cualquier sistema de coordenadas? ¿cómo se expresa ese conjunto en matemáticas? creo que hay que echar mano de un sistema de referencia para representarlos.

¿pero cómo se extiende esto a dimensiones de 4 ó más?

Edit:cuando escribí este mensaje, sólo estaba un mensaje de mat contestándome. ahora veo otro de mat y de grufey, los contesto después de este.un saludo

Es que es al revés:

existen infinidad de estructuras matemáticas, cuya definición es totalmente independiente de cualquier cosa visual o "física". Son definiciones puramente matemáticas (es decir, "relacionales").

Después, los físicos (y matemáticos aplicados, o realmente el que le apetezca) puede fijarse en un determinado fenómenos "físico" (ejemplos: "El Espacio", "la población de piojos de mi perra", "un sistema químico", "una pelota cayendo por un monte".....) y tomar una determinada estructura matemática, hacer una interpretación "física" de dicha estructura y ver si saco algo útil de ello o no.

Precisamente, (y esto tiene que ver con las discusiones mías con Pink), el hecho de que las estructuras matemáticas sean tan "útiles y necesarias" para modelar infinidad de fenómenos naturales "físicos", es precisamente porque las definiciones de dichas estructuras matemáticas son totalmente "relacionales", sin ningún significado semántico, de tal modo que una misma estructura matemática puede interpretarse como "puntos del espacio", o "como estados de un sistema químico", o "como estado de una pelota cayendo", o "como estado de la población de piojos de mi perra", o como un montón de cosas más.

A una misma estructura matemática se le pueden dar infinidad de interpretaciones distintas precisamente porque en su definición no hay ningún significaco semántico.

Tebau
07/09/2008, 22:55
Al margen de la discusión puramente semántica (que tan correctamente está comentando mat), quiero hacer una consideración estrictamente matemática:

Cuando tú defines un espacio afín, tienes un conjunto con una serie de propiedades (una estructura subyacente, que es precisamente la definición de espacio afín). Después, por comodidad, funcionalidad y utilidad, defines lo que se llama un sistema de referencia. Pero eso lo haces a posteriori. Con ese sistema de referencia, a cada punto puedes asociarle, de manera única, unas coordenadas. Y si cambias el sistema de referencia, cambiarán las coordenadas, pero el elemento seguirá siendo el mismo. Es decir, no es exactamente cierto que un punto sean unas coordenaas, de la misma manera que no es cierto que una persona sea su número de pasaporte.

Lo que me parece que te planteas es, entonces, ¿tiene realidad física ese ente al que podemos asociar coordenadas? La respuesta es: esa pregunta no es matemática. Tiene existencia dentro de la Teoría de Conjuntos, eso desde luego. Ahí no cabe duda alguna, porque precisamente para tomar unas coordenadas tomas primero un sistema de referencia, y para tomar un sistema de referencia tomas un conjunto. Así que la existencia matemática del conjunto está asegurada, y por lo tanto también la de los puntos que forman el conjunto. Otra cosa completamente distinta es que ese conjunto con esa estructura matemática específica tenga algún modelo físico asociado...

Saludos.

rory
08/09/2008, 01:11
Vale ya lo he entendido. Aunque me ha costado.


Sólo una pregunta más,


En resumen, primero la Estructura Matemática, y luego a sus elementos los llamamos "puntos".

Me cuesta creer esto ( no porque sea falso, es que me sorprende, yo no sé matemáticas suficientes) porque si yo observo algo, no me hace falta haber aprendido matemáticas antes. Y si acudo a las matemáticas y no encuentro nada, me supongo que habrá matemáticos que habrán desarrollado las matemáticas para que esto no suceda, entonces sería al revés. Primero se observa- >después se formaliza con matemáticas y se avanza desde ahí aunque ya deje de ser observable.

Creo que históricamente , sobretodo al principio, las matemáticas eran una extensión de lo que primero se observaba.

mat
08/09/2008, 02:33
Hay que tener cuidado, parece que no se está entendiendo lo que trato de decir.

La "motivación" para definir una estructura matemática concreta puede venir (según el caso) de intentar "capturar" algo del mundo físico real. Eso ha ocurrido muchas veces, sobre todo con los conceptos geométricos.

Por ejemplo, no cabe duda de que la estructura matemática "Espacio Afín Euclídeo de dimensión 3" se construyó en cierto modo tratando de capturar nuestra percepción intuitiva del Espacio Físico.

Ahora bien, una vez ya hayamos decido cómo definir MATEMÁTICAMENTE la Estructura "Espacio Afín Euclídeo de dimensión 3", ello será una definición matemática, y no tendrá ninguna referencia, obviamente, a nada que no sea matemático.

¿y cuál es esta definición matemática?. Pues la siguiente:

Un Espacio Afín Euclídeo (real) de dimensión 3 es una terna (A, (E,+,.,*)\mathbb{R}, \phi) donde:

A es un conjunto no vacío

(E,+,.,*)\mathbb{R} es un Espacio Vectorial Euclídeo de dimensión 3

\phi:A\times A\to E es una aplicación que cumple:

1)Para cada p\in A, la aplicación \phi_{p}:A\to E definida por \phi_{p}(q):=\phi(p,q) es biyectiva.

2)Para cada p,q,r\in A se verifica que \phi(p,q)+\phi(q,r)=\phi(p,r)


Esa es la definición y como ves no hay en ella nada que no sea puramente matemático.

A los elementos del conjunto A, se les llama "puntos". ¿Son los puntos del Espacio "físico"?. Pues no. Son símplemente los elementos del conjunto A.

¿Y qué "entes matemáticos" son los elementos del Conjunto A?. Pues depende de quién sea el conjunto A en cada ejemplo concreto (A, (E,+,.,*)\mathbb{R}, \phi) de Espacio Afín Euclídeo (real) de dimensión 3.

Hay infinitos ejemplos distintos, todos ellos isomorfos, de Espacios Afines Euclídeos (reales) de dimensión 3. En alguno, A es un conjunto de polinomios, en otro A es un conjunto de ternas de números reales, en otro A es un conjunto de matrices 2\times 2 triangulares,...etc. Y realmente NO IMPORTA la naturaleza concreta del Conjunto A mientras la estructura (A, (E,+,.,*)\mathbb{R}, \phi) cumpla todo lo que tiene que cumplir, es decir, la definición de Espacio Afín Euclídeo (real) de dimensión 3.


La definición de "Espacio Afín Euclídeo (real) de dimensión 127" es exactamente igual, una terna (A, (E,+,.,*)\mathbb{R}, \phi) donde ahora (E,+,.,*)\mathbb{R} es un Espacio Vectorial Euclídeo (real) de dimensión 127.

Y de nuevo hay infinitos ejemplos concretos (todos ellos isomorfos), siendo en alguno A un conjunto de polinomios, en otro A un conjunto de "127-uplas de números reales", en otro A un conjunto de matrices curiosas,...etc.

De nuevo no importa "qué entes matemáticos concretos sean los que forman el conjunto A" (que como digo dependerá del ejemplo concreto) mientras la estructura (A, (E,+,.,*)\mathbb{R}, \phi) cumpla la definición de Espacio Afín Euclídeo (real) de dimensión 127".


Y a los elementos del conjunto A los llamamos "puntos" de ese Espacio Afín Euclídeo de dimensión 127.


Así que resumiendo:

"definir" en matemáticas, es básicamente tomar una determinada cadena del Lenguaje Formal de la Teoría de Conjuntos y ponerle un "nombre".

Es una manera de "centrar nuestra atención en unas determinadas relaciones" dentro de la infinidad de relaciones posibles que hay (de cadenas de símbolos del Lenguaje Formal de la Teoría de Conjuntos).

Evidentemente este proceso de "definir=centrar nuestra atención en un determinado conjunto de relaciones y para ello le ponemos un nombre" no ocurre porque un tío estaba aburrido un día y dice: "eah, voy a definir Espacio Topológico así: un par (X,T) donde X es un conjunto no vacío, y T es un subconjunto de P(X) que cumple:

1) \emptyset\in T, y X\in T
2) si M\subset T entonces \cup M\in T
3) si A,B\in T entonces A\cap B\in T"

NO. No ocurre así.

Lo que ocurre en realidad es que trabajando en distintas áreas de la matemática, a veces se dan las mismas relaciones una y otra vez entre entes totalmente distintos, y uno acaba hasta las narices de demostrar "teoremas análogos" en distintas áreas, hasta que se decide "tomar aquello que comparten todos esos entes distintos" y decir que "ello" es una nueva estructura y le ponemos un nombrecito. A partir de ese momento se investiga que teoremas se cumplen en esa estructura "general" y entonces esos teoremas, "traducidos a cada caso particular" se cumplirán en cada ejemplo de dicha estructura.

Por eso en matemáticas se van definiendo estructuras cada vez más generales. Es una manera muy potente de demostrar cosas que valen para una infinidad de casos particulares.

Otra cuestión que influye a la hora de "a qué estructuras matemáticas (relaciones entre objetos matemáticos) decidimos prestarle atención y ponerles un nombrecito" es, como he dicho, cuando tratamos de "capturar" algo de un fenómeno físico real.

Pero sea lo que sea lo que haga que decidamos centrar nuestra atención en una determinada cadena de símbolos del Lenguaje Formal de la Teoría de Conjuntos ( que básicamente significan relaciones entre objetos matemáticos) y acabemos poniendole un "nombrecito", al final no deja de ser una cadena de símbolos que "expresan" unas relaciones entre objetos matemáticos.