Simple Harmonic Oscillator

[Quanto]

Hola,

Una cuestión que está a caballo entre la cuántica y las matemáticas:

¿Porqué es tan importante el movimiento armónico simple, en mecánica cuántica? ¿para qué se utiliza?

salu2

[leach]

El oscildor armónico simple es de gran importancia en física porque es la aproximación más natural a los estados ligados de un potencial con un mínimo local.

Es decir, imagínate que tienes un potencial espacial V(x) que alcanza un mínimo en x = x_0. Imagina además que este potencial es derivable al menos dos veces en un entorno de x_0. Entonces, tienes que el potencial es aproximadamente:

V(x_0 + h) \quad = \quad V(x_0) \;+\; \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dx^2}(x_0)\, h^2\; +\; O\left(\vert h\vert^2\left)

Si supones que \frac{d^2V}{dx^2}(x_0) es distinto de cero (lo cual es la situación más habitual), entonces debe ser necesariamente:

\frac{d^2V}{dx^2}(x_0)\; >\; 0

puesto que estás en un mínimo. Llama k a esa segunda derivada, donde k>0. Entonces, el potencial cerca de x_0 es aproximadamente (hasta orden 2):

V(x_0 + h) \quad = \quad V(x_0)\; +\; \frac{1}{2}\,k\, h^2\, .

Que es precisamente el potencial de un oscilador armónico.

Es por este motivo que la ley de Hooke es casi tan importante como la ley de la gravitación de Newton: como aproximación, casi todos los comportamientos cercanos a un equlibrio energético estable se comportan como osciladores armónicos.

A niveles más profundos, los osciladores armónicos aparecen al resolver la ecuación de ondas mediante transformadas de Fourier, y por ello se asocian a todos los fenómenos ondulatorios, lo que les da una importancia extraordinaria.

:h:

[Quanto]

Extraordinario (para no varia) :r: Leach :r: . Un poco para que yo lo entienda, vendría a ser la "herramienta matemática" que puede ayudar a construir la descripción en los potenciales en mecánica cuántica, ¿o acabo de decir una salvajada? :???:

salu2 :h:

[Vijande]

Hola,

Una cuestión que está a caballo entre la cuántica y las matemáticas:

¿Porqué es tan importante el movimiento armónico simple, en mecánica cuántica? ¿para qué se utiliza?

salu2

Lo que acaba de decir Leach es absolutamente cierto, pero otro gran punto a su favor es que sus soluciones son analiticas :) y eso es siempre una gigantesca ayuda.