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Ver la versión completa : Inversión temporal



Ragna
06/06/2007, 22:41
Saludos

Hace un rato le he preguntado a Smaigol sobre una anotación que hace Penrose en el capítulo sobre Geometría de Minkowski (18.2)


Anotación 18.4

Existen también elementos inversores del tiempo e el grupo de Poincaré, que envían direcciones de género tiempo futuras a direcciones de género tiempo pasadas.

Creo que ya se por donde van los tiros, pero a petición suya, pongo la respuesta de Smaigol.


Pfff pues no sé, realmente nunca he estudiado el grupo de Poincaré.Pero apostaría a que se refiere a que el grupo de Poincaré contiene transformaciones que hacen t \rightarrow -t, es decir que cambian la dirección del tiempo .Raro se me hace, porque hasta donde yo sé el grupo de poinca se compone de transformaciones de Lorentz y traslaciones.Aunque ahora que lo pienso...la wiki define el grupo de poincare como el grupo de las isometrias del espacio de Minkoski.Así que si encontramos una isometría que cambie la dirección del tiempo, dicha isometría estará en el grupo de Poincaré.

Hum...juraría que una tal isometría sería sencillamente la transformacion x_\mu^\prime=-x_\mu, es decir cambia el signo de cada coordenada y listou.Pero vamos, no te fíes demasiado, no estoy muy seguro.Si de verdad te interesa pregunta en el foro (y cita este mensaje para que yo de paso pueda comprobar si he metido la pata o no).

Por lo que acabo de leer, creo que la cosa va acerca de la helicidad \lambda (autovalor del impulso angular). Teniendo en cuenta las propiedades del operador del grupo, un vector puede ser rotado a otro con helicidad opuesta. La consecuencia a la que se referiría Penrose es, que teniendo en cuenta el operador temporal, toda partícula con \lambda \not= 0 y m=0 deberá estar acompañada de otra de helicidad opuesta.

A ver si alguien puede aclararlo. Si le interesa a alguien, pongo las formulas del documento sobre Grupo de Poincaré donde lo he encontrado.

n0mad
06/06/2007, 23:14
Es bastante sencillo, el grupo O(1,3) son aquellas transformaciones que preservan el producto interior del espacio de Minkowski. Si se me permite restringire la atencion unicamente a 1 dimension espacial y la temporal, para no andar arrastrando matrices 4x4.
\left(\begin{array}{cc} \pm \cosh \theta & \pm \sinh \theta \\ \pm \sinh \theta & \pm \cosh \theta \end{array}\right)

Esta es la forma generica de una matriz del grupo O(1,1). El grupo de Poincare es la extension a \mathbb{M}^4 de estas transformaciones, junto con el grupo O(3), las isometrias de \mathbb{R}^3 y las traslaciones rigidas.

Es facil ver que tanto el grupo O(3) como O(1,1) contienen matrices que no preservan la orientacion del espacio. Por ejemplo en O(3) serian las simetrias, como:

\left(\begin{array}{ccc} -1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{array}\right)

Pero O(1,1) e incluso SO(1,1) tambien tiene elementos que le pueden dar la vuelta a tu dimension temporal. Son del tipo:

\left(\begin{array}{cc} -\cosh \theta & \pm \sinh \theta \\ \pm\sinh \theta & \pm \cosh \theta \end{array}\right)

El elemento a_{11} es -\cosh \theta. Esto seria una inversion temporal generica.


Es decir, partimos de O(1,1), toda matriz que simplemente preserve el producto interior. Si queremos restringirnos a SO(1,1) debemos imponer que el determinante de la matriz sea +1, esto nos deja con matrices de la forma:

\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)
a=d= \pm \cosh \theta
b=c= \pm \sinh \theta

Pero esto todavia incluye inversiones temporales, pues si queremos cargarnoslas debemos hacer a_{11} > 0 \Rightarrow a = \cosh \theta quedandonos:

\left(\begin{array}{cc} \cosh \theta & \pm \sinh \theta \\ \pm \sinh \theta & \cosh \theta \end{array}\right)

Que se llaman algo asi como grupo de Lorentz propio ortocrono (proper orthocronous lorentz group, SO^+ (1,1) )

Que son justamente los boost de la relatividad especial. No se si al ser una explicacion algo improvisada me habra quedado inteligible o no :???: :oops:

Smaigol
06/06/2007, 23:40
Gracias por el post n0d, muy ilustrativo, no habia oido hablar del grupo otrocrono ese (has aprendido estas cosas en algun sitio en concreto? es que sueles usar mucho la forma de las transformaciones de Lorentz como matrices de funciones hiperbolicas, te viene de algun texto en especial? o solo es que te gusta mas?).Aparte, veo que mi respuesta a Ragna no iba desencaminada; La transformación que propuse es una de las que enumeras, cuando \theta=0.

Por cierto, una errata; Donde pone a_{11}>1 supongo que quieres poner a_{11}>0.Es una chorrada pero es lo tipico que puede confundir a quien está entrando en esto por primera vez.

:h:

Ragna
07/06/2007, 00:07
Si, lo que dices tu es la t-symmetry, presente en muchas teorías físicas, pero a lo que creo que se refiere Penrose es a como tratar esto en sucesos puntuales en Minkowski. Por ejemplo, no creo que nuestro universo cumpla esta simetría.

Las ecuaciones que comentaba son.

El operador paridad satisface:

\mathcal{P} P_0 \mathcal{P} = + P_0
\mathcal{P} P_i \mathcal{P} = - P_i
\mathcal{P} M_3 \mathcal{P} = + M_3

lo que cambia el signo del momento angular:

\mathcal{P} (p_0, 0, 0, p_0), \lambda \to (p_0, 0, 0, -p_0), -\lambda

rotamos en \pi alrededor del eje 2, lo que nos deja:

e^{i \pi M_2} \mathcal{P} (p_0, 0, 0, p_0), \lambda \to (p_0, 0, 0, p_0), -\lambda

Mismo 4-impulso, helicidad opuesta.

De ahí que se necesite una partícula con helicidad opuesta.

n0mad
07/06/2007, 00:11
Si, tienes razon, era > 0, supongo que se me cruzaron los cables con que \cosh \theta \ge 1. Lo voy a corregir para no liar a nadie. Muchas gracias por avisar.


Gracias por el post n0d, muy ilustrativo, no habia oido hablar del grupo otrocrono ese (has aprendido estas cosas en algun sitio en concreto? es que sueles usar mucho la forma de las transformaciones de Lorentz como matrices de funciones hiperbolicas, te viene de algun texto en especial? o solo es que te gusta mas?)

Pues viene de que si las intentas deducir como las matrices que preservan el producto interior de minkowski, son la solucion natural que se presenta. Te aparecen cosas como (es un ejemplo, tendria que volver a sacarlas):

a^2 - b^2 = 1

Que te piden a gritos un cosh y un sinh, evidentemente \gamma y \gamma \beta tambien valen pero la solucion natural es darla como hiperbolicas. Y despues las utilizo indistintamente, segun lo que sea mas conveniente.

Para problemas de RE, no son utiles generalmente, porque te daran velocidades o factores \beta y no tiene sentido ponerte a pasar de una a otra. Pero para demostraciones y manipulaciones de este estilo son muy utiles.

Y texto? Pues no se si en el Special Relativity de Schwarz lo vi por primera vez.

Aunque lo del ortocrono no lo aprendi ahi, me di cuenta de que no podia deshacerme de la indeterminacion entre \pm \cosh \theta y que tenia relevancia al ser cosh una funcion estrictamente positiva, evidentemente el elemento a_{11} con -\cosh 0 invertia la dimension temporal. Y eso me hizo indagar y vi en el Weinberg que en efecto explicaba que debiamos exigir que fuese mayor que 0, al no ser la inversion temporal una simetria fundamental de la fisica y tal (el tema ese de la simetria CPT). Y ahi me entere del nombre. :D

Smaigol
07/06/2007, 00:17
Pues viene de que si las intentas deducir como las matrices que preservan el producto interior de minkowski, son la solucion natural que se presenta. Te aparecen cosas como (es un ejemplo, tendria que volver a sacarlas):

a^2 - b^2 = 1

Que te piden a gritos un cosh y un sinh, evidentemente \gamma y \gamma \beta tambien valen pero la solucion natural es darla como hiperbolicas. Y despues las utilizo indistintamente, segun lo que sea mas conveniente.Ohm, ok.Al decir que "las usas mucho" me refería precisamente al post donde haces precisamente eso, hallar las matrices que conservan el producto interior.


Aunque lo del ortocrono no lo aprendi ahi, me di cuenta de que no podia deshacerme de la indeterminacion entre \pm \cosh \theta y que tenia relevancia al ser cosh una funcion estrictamente positiva, evidentemente el elemento a_{11} con -\cosh 0 invertia la dimension temporal. Y eso me hizo indagar y vi en el Weinberg que en efecto explicaba que debiamos exigir que fuese mayor que 0, al no ser la inversion temporal una simetria fundamental de la fisica y tal (el tema ese de la simetria CPT). Y ahi me entere del nombre. :DOk, lo de pedirte un texto iba mas por lo de ortocrono que por lo de las funciones hiperbólicas.Supuse que habría mas chicha del lugar donde salió esa palabreja XD.

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Ragna, esto me supera.No entiendo nada de lo que dices XDDDD.Si eso es del Penrose, es de los capítulos que no he mirado.

:h:

n0mad
07/06/2007, 00:34
xDD, lo del ortocrono asi sin mas no tiene mucha mas chicha. Clasificar y escudriñar un poco el grupo de Poincare no tiene mucho misterio. Lo que si tiene mas chicha es porque podemos descartar las inversiones temporales, al no ser una simetria fundamental de la fisica y tal. Es por el tema este de la simetria CPT (carga-paridad-tiempo), que es por donde debe andar buscando ragna la respuesta. Pero yo no me he metido con el tema, es fundamentalmente en cuantica de campos donde aparecen estas cuestiones. Lo siento...

PD: tu respuesta iba perfectamente encaminada, aunque ya lo has visto tu mismo. En efecto algo tan simple como una simetria en la que tambien intervenga el tiempo es un elemento de pleno derecho de Poincare y resulta en una inversion temporal y de alguna dimension espacial si es el caso.

Espero que alguno de los que manejen el tema pueda contestarte ragna. :h: